I. Les limites de l'intégrale peuvent être infinies

Nous avons supposé, jusqu'à présent, que, dans l'intégrale définie

f(x)dx,

la fonction dérivée /(x) restait finie et continue entre les deux limites x0 et xXy ces limites étant des quantités déterminées quelconques. Nous allons montrer que,/(^r) demeurant toujours finie et continue, tandis que l'une des deux limites ou toutes les deux deviennent infinies, l'intégrale correspondante peut conserver une valeur finie, ou bien devenir elle-même infinie ou indéterminée.

786. Remarquons qu'une intégrale prise entre les limites xQ et 00 n'est autre chose que la limite vers laquelle tend la même intégrale prise entre les limites x0 et xu lorsqu'on fait

(*) En disant ici quelques mots de cette question délicate, nous voulons seulement indiquer au lecteur les difficultés qui peuvent se présenter dans le calcul des intégrales définies.

tendre xx vers l'infini. On a ainsi

/ f(x)dx = l\ml f(x)dx [pour a?i = oc]. On a, de même,

/ f(x)dx = V\m I f(x)dx [pour #0= — 00]

et

/ f(x)dx = Y\m ( f(x)dx [pour ,r0=n — 00 et jr,~x].