a0 Soit, encore, l'intégrale

ldx

On a, comme on le sait,

%dx

d'où

1 dx '__ .xx

X Xq

Si les deux limites sont de même signe, il n'y a aucune difficulté; mais, si elles sont de signes contraires, le second membre se présente sous forme imaginaire. Nous nous trouvons dans le même cas d'exception ; car, dans l'intervalle de ces

deux limites de signes contraires, la fonction /(or) = — passe

nécessairement par l'infini pour x =o.

Pour bien faire apparaître la différence de signes des deu\ limites, nous désignerons par x0 et par xt deux nombres positifs et, pour lever la difficulté, nous poserons (791)

J..Xo x V-.r0 x J*+n X J

£ et yj étant des infiniment petits arbitraires, sans aucune corrélation.

On aura alors

.. C ~*dx ,o — £ .6 lim / — =/ =/-

Xq Xq

et

j dx uni

La somme des deux limites sera donc

ri x0 xQ n

Mais, £ et y) étant arbitraires, leur rapport est indéterminé, et l'intégrale proposée a elle-même une valeur indéterminée.

Si Ton suppose £ = yj, on a / - = / 1 = o, et la valeur de l'intégrale se réduit à /— • C'est ce que Cauchy appelle, dans les

Xq

cas analogues, la valeur principale de l'intégrale indéterminée.

Cette valeur principale a donc pour expression générale (791)

lim f f(x)dx +J ' /( x) dx .

Nouvelle démonstration de la série de Taylor.

79fc. Les propriétés des intégrales définies et l'application du procédé d'intégration par parties (781) conduisent à une démonstration simple et élégante de la série de Taylor (675).

Soient, en effet, x et h deux quantités données et t une variable. Considérons la fonction

et supposons-la continue, ainsi que ses n -+• i premières dérivées, pour les valeurs de t comprises entre o et A; ce qui revient à dire que /(.a?) et ses n -t-i premières dérivées sont continues dans l'intervalle (x, x -+- h). La différentielle âef(x -hh — t) par rapport à /étant égale

—ff(x-t-h — t)dty

nous aurons, identiquement (763, 2°)

f —f'(x H- h — t)dt — f f'(x + h — t)dt =f(x -+- k) —f{x).

Cela posé, si l'on veut appliquer l'intégration par parties (781) à l'expression

f\x^r h — t)dt>

on aura ici u =/'(# H- li — t)y v — ty du=—flf(x 4- h — t)dt,

et il viendra, par suite, f f'{* -h h — t)dt—tf'(x + h — 0 -h f tf(x + h-t

)dt.

En opérant de même pour l'intégrale du second membre ei en poursuivant l'application de la méthode, on aura, successivement,

f tf(x-r-h — t)dt= —f(x^h-t)^- f il/-(x-+-/i-/)rf'. Jo i • 2 «/o l • 2

Ajoutons toutes ces égalités membre à membre. Nous aurons, en simplifiant,

fr(x+h-t)dt= if(x+h-t)+ £-rt*+h-t)+ -Z-r^+k-u-