J V J JQ
En faisant t = h dans cette égalité résultante et en tenani compte de Pidentité (t), il viendra évidemment
[ i.a.3.../i'/ ' i.a.3. ../iJJ, ^ v
Pour que ce développement coïncide exactement avec la série de Taylor (675), il faut et il suffit que les conditions relatives à la continuité soient remplies, et que le reste R ou le dernier terme du second membre de la formule (2) tende vers zéro autant qu'on voudra à mesure que n augmente.
Si Ton désigne par M la plus grande valeur et par m la plus petite valeur que prend la dérivée continue/*"^1 (a: -h /1 — Oi
quand t varie de o à h, on a nécessairement
r< — 5 — / m»dt< — * ,
i.2.3...nj9 i.a.3...(/i + i)
et
R> 5 / mt"dt> fï- --
La véritable valeur de R correspondra donc à une valeur de/*+l(;r-f-A — *) telle, que t soit compris entre o et h et égal à /i — 0A, en désignant par 9 une certaine fraction positive, et Ton trouvera ainsi, comme précédemment (677),
ce qui achève la démonstration.
Intégration par séries.
795. Le développement d'une intégrale en série convergente repose sur le théorème fondamental suivant :
Si une série
u0 -h «i H- u% -+- . . . -h tt„-t -H R„,
do/** les termes sont des fonctions continues de la variable x, est convergente pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle (x0, xx)> et sif(x) représente sa limite, la série
u0dx -h I uxdx -+- I uxdx -h . . .
-h f un-tdx-\-l Rndx
est aussi convergente dans le même intervalle, et elle a pour limite l'intégrale définie I f(x)dx.
En effet, puisque, sous les conditions indiquées, on a, pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle (x0i xx)y
et Rn tendant vers zéro à mesure que n augmente,
on a aussi (771), en multipliant par dx et en intégrant entre les limites x0 et xi9
1 / f{x)dx=\ u0dx~+-l uvdx-\-\ i/,<£r-h...
] ^jr0 . •/ro ^.r0 Jx<
-h / un-xdx-h I Rnrf*r.
D'ailleurs, si Ton représente par £ un infiniment petit, on pourra toujours poser, par hypothèse et pour n assez grand,
et, par suite,
/ Rndx < / idx<Zt{xi — x0).
Le dernier terme du second membre de la relation (2) devient donc nul à son tour pour n infini, et Ton a rigoureusement
I f(x)dx=z I uQdx 4- / uxdx-{-f tiidx-
796. Si la série (1) [795], convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre x0 et xu devenait divergente pour x = xu la formule (3) serait encore vraie pour x = xx — s, en supposant xx>x0 et en désignant par £ un infiniment petit positif. En faisant tendre £ vers zéro, la formule (3) subsisterait toujours, pourvu que la série (2) demeurât convergente. En effet, ses deux membres représentant alors des fonctions continues de x qui ont constamment la même valeur, leurs limites, pour e — o ou pour x = xl9 seraient encore égales.
797. 11 résulte du théorème précédent (795) que, si la formule de Maclaurin (684) donne pour/(.r) une série convergente telle que
ALGEBRE SUPÉRIEURE. "Jo3
on pourra, en multipliant de part et d'autre par dx et en intégrant, en déduire l'intégrale indéfinie
j j%f(x)dx = C+jf(o) + -^/'(o)
Si l'on veut que l'intégrale soit nulle pour x = o, il en résultera C — o, et l'on aura (762).
798. Nous terminerons ces notions par quelques exemples. i° La division donne (n)
i — x -+- x* — x* - h . . . zt xn z~
et la série du second membre est convergente tant que x est moindre que i en valeur absolue. En multipliant par dx et en intégrant, il vient
/dx ,, x x* j?s x*
