hX

^ xn+v __ rxn+xdx ~~~ n-t- 1 ""*" J i-f-x

Tant que la valeur de x reste comprise entre — i et h- i, on a donc (696)

2° La division donne également

et la série du second membre est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre -1 et +1. En multipliant par dx, en intégrant, et en prenant pour arclangj? le plus

petit des arcs positifs qui ont x pour tangente, on a donc

dx x% x5 x1 , = arc tang^r = x ~- -h — r ...

rxia+*dx

Tant que la valeur de x reste comprise entre — i et -h i, ou peut écrire, par suite (704),

arclangvT = x — V + "ë T ~*~

3° La formule du binôme (691) donne, en supposant a* compris entre — i et 4-1, la série convergente

(1 — ar1) ,= i + -^îf

En multipliant par dx et en intégrant les deux membres de celte relation, il vient

= arc sin.r

Ce développement est applicable tant que x reste compris entre -1 et +1 et, même, pour xz=noi, en raison delà remarque faite au n° 796, parce que, bien que la première série devienne alors divergente (692), la seconde série demeure convergente (*). On aura ainsi, en faisant x = 1 daus le développement trouvé et en prenant pour arcsinx le plus petit arc positif qui réponde à cette condition,

(') Voir les Questions proposées sur les séries (124 et 125).