Cherchons d'abord la valeur du déterminant
Ajoutons la première colonne à la deuxième et retranchons ensuite la
deuxième colonne ainsi modifiée de la troisième colonne, ce qui est permis (57); nous aurons
En ajoutant maintenant respectivement la deuxième ligne à la première et à la quatrième, et en ajoutant cette même deuxième ligne, multipliée par 4, à la troisième ligne, il viendra successivement (51 )
Retranchons de la deuxième colonne du dernier déterminant la troisième colonne, multipliée par 4 ; puis, retranchons également une fois la troisième ligne de la première ligne et deux fois cette troisième ligne de la deuxième; puis, enfin, ajoutons trois fois la première ligne à la troisième : nous aurons successivement, en appliquant toujours le théorème du n° 51 aussitôt que cela est possible, les résultats ci-après :
65. On peut, sinon simplifier les calculs, du moins éviter tout essai et tout tâtonnement, en appliquant un théorème que nous allons démontrer et qui résulte immédiatement des propriétés générales des déterminants.
On peut toujours ramener un déterminant donné à présenter une ligne ou une colonne composée d'éléments tous égaux à V unité .
Prenons, par exemple, le déterminant du troisième ordre
ax bx ct at bt c, az bz c,
Cherchons le plus petit commun multiple des éléments de
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 49
la première colonne. Soit m ce plus petit commun multiple. On aura
m = axqx = atqi=z a%q%.
Multiplions respectivement les trois lignes du déterminant par les quotients qX} qt9 g*. En désignant par A sa valeur, il viendra (Sk)
q\<it<ii
Ctqi
bzqz
9\<lt<Ii
i bxqx cxqx i blqt c,7, i bzq% czq3
ce qui justifie l'énoncé.
En retranchant successivement la première ligne des autres lignes, on arrive ensuite immédiatement (51) au déterminant mineur d'ordre moindre d'une unité, auquel on peut appliquer la même transformation s'il y a lieu.
On aurait, pour le déterminant précédent,
i bxqx cxqx
o b%qt— bxqx ctqs— cxqx
[(biqi—bxqx)(czqz — cxqx) — (ciqi — cxqx){b,iqi—bxql)].
66. Appliquons ce procédé au déterminant déjà calculé au n° 64.
Le plus petit commun multiple des éléments de la première colonne étant 120) on multipliera respectivement les quatre lignes du déterminant par les nombres 40, 20, 12, i5. On a ainsi, pour sa valeur,
1 5ao 680 160
- Cours. III.
OO
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
En retranchant la troisième ligne des autres lignes, le déterminant devient successivement
Nous chercherons alors le plus petit commun multiple des éléments de la troisième colonne du dernier déterminant. Ce plus petit commun multiple étant 36, on multipliera respectivement les trois lignes du déterminant par les nombres 9,9 et 4- On aura comme résultat, en retranchant finalement la première ligne des deux autres,
3oo 168 1
— 36o.i2o — 180.60 __ — 54ooo
