RÉSOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

79. L'emploi des déterminants simplifie beaucoup la résolution générale des équations du premier degré.

Nous démontrerons d'abord les formules ou les règles connues sous le nom de règles de Cramer ; puis nous établirons le théorème général de M. Eug. Rouché, qui nous semble devoir clore définitivement la question.

Règles de Cramer.

80. Considérons un système de n équations du premier degré à n inconnues, que nous représenterons comme il suit :

ax x -h bxy -f- Ci z -h ... -+- /, *=:/>, , atx -h b%y -h ctz -h. . . -f- ht ~ px,

; -H ^/+^+.. .-h lnt = Pn-

Désignons par A le déterminant formé par les n* coefficients des n inconnues. On aura

In

On peut ordonner A suivant les éléments de ses différentes colonnes et l'écrire alors sous les n formes indiquées au n° 50, à l'aide de ses déterminants mineurs de première classe (44).

Prenons en particulier la première de ces n formes de A,

De C. — Cours. III. 5

c'est-à-dire

A = Ala1-+-Aja,-HA8aj-K. .-hAnan.

Si l'on remplace successivement, dans le déterminant figuré des coefficients des inconnues, la lettre a par les (n — i) autres lettres by c, . . ., /, sans toucher aux indices, on obtiendra chaque fois un déterminant qui sera nul comme ayant deux colonnes identiques (47). On pourra donc écrire en même temps les (n — i) équations suivantes, dont les premiers membres résultent des mêmes substitutions successives dans l'expression ci-dessus de A :

klbl-\-A.tbl-+-Albt + ... + Anbm = of

A,C! -4-A,c, -f-A3c3-^...-+-A„crt = o,

At lx -+- Aj /2 -+- A3 U +...+Àn/n=o.

Cela posé, multiplions respectivement les n équations (1) par les mineurs Alf A,, A3, ..., An et ajoutons ensuite ces équations membre à membre. Les coefficients des (n — 1) inconnues y, z, ..., t deviennent précisément, dans cette hypothèse, les premiers membres des {n — 1) équations (2), de sorte que ces inconnues se trouvent éliminées et que l'équation provenant de la somme effectuée se réduit à

d'où

(Ajat+Ai^H-Asûta-h. . .-hAnan)x

= A1/>1 + A2/?,+A3/>3 + ... + Afl/?B;

x A1/?1-hAî/?t-f-A3/?3-h...-hAw^/f A,al-+-Aiaî-hA3a,H-. . . + Anan"

Si l'on veut mettre les deux termes de cette valeur de x sous forme de déterminants, on a évidemment (49)

Pi P*

bi

Ct

Pn

bi

On trouve de la même manière les valeurs des (w — 1) autres inconnues /, z, . . . , t9 en se servant successivement des (n — 1) autres formes de A ordonné suivant les éléments

de ses (n — i) autres colonnes (50), et Ton a

B^ + B2/?2 -f- B3/?, 4- . ■ . 4- Bnpn

J— Bl^-+-B2£2-^-B3&3-^-...-^-B,A,

L, li H- La /2 4- L3 /3 4- . • • 4- Ln ln ou

Pi

ct .

ci ... i

Pi

ct .

Pn

.. In

bn

Cn ... i

àt

ct .

bx

bt

.. Pn

bn

On voit que /e dénominateur commun des formules générales ainsi obtenues est le déterminant A des coefficients des inconnues et que, pour avoir le numérateur de chaque formule, il faut remplacer dans le dénominateur commun, sans toucher aux indices, le coefficient de l'inconnue dont on veut écrire la valeur par le terme tout connu p pris dans le second membre.

L'énoncé précédent constitue les règles de Cramer, qui les a données dans son Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (1750) [voir p. 667 et 658].

81. Pour que la démonstration précédente subsiste, il faut que les déterminants mineurs de première classe, par lesquels on doit multiplier respectivement les équations proposées, ne soient pas tous nuls.

Si cette condition est remplie, chaque équation, telle que

A. j? = AtPi 4- A2/?2 4- Aj/7,4-. . . -h Anpny

est une conséquence nécessaire des équations (1) [80] et peut remplacer Tune quelconque d'entre elles. Il y a donc alors équivalence entre le système proposé et celui auquel on parvient par les formules de Cramer.

82. Il est d'ailleurs facile de vérifier que, tant que le déterminant A est différent de zéro, les valeurs données par ces Jormules satisfont aux équations proposées, qui admettent par conséquent dans ce cas une solution unique et déterminée.

Si l'on substitue, en effet, ces valeurs à la place des inconnues, la première des équations (i) [80] devient, en chassant le dénominateur commun A,

«i(Ai/?i + Aî/?1 + ... + Àrt^)

+ MB^-h Btpi+. . . + Bnpn) +. . .

+■ A(Li/?i-f- Upt ■+-... + Lnpn) = A./?!

ou bien, en ordonnant dans le premier membre par rapport aux termes tout connus pl9 pt, ...,/?„,

pt ( At a, H- Bt *, -h . . . -+- L, /, )

+ Pi ( A, a{ -h B, bx -+- . . . h- L, /, ) -h . . .

+/jn(ABa1+B^1-h... + U/,)=l^1.

Or le coefficient de />j est le déterminant A ordonné suivant les éléments de la première ligne (50), tandis que les coefficients de piy pz> . .., pa, sont ce même déterminant ordonné suivant les éléments de la deuxième, de la troisième, . . ., de la nième ligne, et où Ton aurait successivement remplacé ces mêmes lignes par la première : on a ainsi, chaque fois, un déterminant à deux lignes identiques ou nul (47), de sorte que le premier membre de l'équation considérée se réduit à A./?t comme le second membre, et que celte équation est satisfaite par les valeurs mises à la place des inconnues.

On appliquera un raisonnement analogue aux (/i — i) autres équations du système (i) [80].

83. En admettant toujours que les déterminants mineurs ne soient pas tous nuls (81), on peut montrer que, lorsque le déterminant A est, au contraire, égal à zéro, le système des équations proposées est impossible ou indéterminé.

Car, si Ton substitue, comme on en a le droit, à la première des équations (i) [80], dont les deux membres ont été multipliés par le mineur A1 supposé différent de zéro, la pre-

mière des équations répondant aux formules de Cramer, c'est-à-dire l'équation

(a) A.4? = Ai/?t + Al/>, + A,/?s-t-. . . + A„/>/0

on forme un système équivalent au système (i).

Or, si le second membre de l'équation (a) est différent de zéro, cette équation, d'après l'hypothèse A=o, est impossible (Alg. élém., 115), ainsi que le système dont elle fait partie.

Si le second membre de l'équation (a) est aussi nul, cette équation devient une identité {Alg. élém., 116), et le système dont elle fait partie se réduit à un système de (n — i) équations à n inconnues : il est donc indéterminé (Alg. élém., 145).

84. Nous ne croyons pas utile de poursuivre plus loin cette discussion, le théorème général que nous allons démontrer la rendant beaucoup plus simple et, en même temps, plus complète.

Théorème général de M. Eng. Rouché.

85. M. Rouché a fait connaître ce théorème par une Note insérée dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences (29 novembre 1875). Il l'a exposé ensuite, avec plus de développements, dans le Journal de V École Polytechnique (XL VIIIe Cahier, 1880), sous le titre de Note sur les équations linéaires. C'est cette exposition que nous prendrons pour guide, en simplifiant les définitions d'abord adoptées d'après les nouvelles réflexions que l'auteur a bien voulu nous communiquer.

86. Nous représenterons les inconnues par la même lettre affectée d'indices différents.

Soit donc le système d'équations linéaires

a\xt-)- a\xt-\-a\az-{-. . . + aj,,rfl,= kl9 a\ xx •+- a\xt -+- a\ xz -+- . . .-ha?xm= kt,

[ ainxl-haflx1-ha%xz-^...-ha^xm — kn.

Ce système, formé de n équations renfermant m inconnues, et où n peut être supérieur, égal ou inférieur à m, répond à tous les cas possibles.

D'une manière générale, nous ne pourrons pas (sauf le cas de n=.m) former un déterminant avec les coefficients des inconnues, mais bien un Tableau rectangulaire analogue à ceux dont nous avons déjà parlé (75). Ce Tableau rectangulaire sera

et Ton pourra en déduire des déterminants proprement dits, en y considérant les éléments communs à un certain nombre de lignes et à un nombre égal de colonnes.

87. Nous supposerons d'abord que tous les éléments du Tableau (T) ne sont pas nuls, et qu'il y en a au moins un différent de zéro.

Dans cette hypothèse, parmi les déterminants déduits du Tableau (T), on en trouvera au moins un qui ne sera pas nul et qui sera d'un certain ordre. S'il en existe plusieurs qui ne soient pas nuls, on choisira parmi eux celui d'ordre supérieur. S'il y en a plusieurs de cet ordre supérieur, on en choisira parmi eux un à volonté.

Le déterminant ainsi choisi, que nous désignerons par d9 est appelé le déterminant principal du système (1), et si p est son ordre, p ne peut évidemment surpasser le plus petit des deux nombres m et n.

D'après cette définition, les déterminants d'ordre supérieur à p, que l'on pourra déduire du Tableau, seront nécessairement nuls.

On peut d'ailleurs, en disposant convenablement les équations (1), supposer, sans restriction aucune, que d est le déterminant obtenu en combinant les p premières lignes et les p premières colonnes du Tableau (T). On aura ainsi

Nous nommerons alors inconnues principales les p premières inconnues xu xu œz, . . ., œp, c'est-à-dire celles qui

ont pour coefficients les éléments du déterminant principal. Supposons maintenant qu'on borde ce déterminant, à sa partie inférieure, par les p premiers éléments de Tune des lignes du Tableau (T), non employées pour le former, et qu'on le borde en même temps, à droite, par les termes tout connus des équations de même rang que les différentes lignes dont les éléments entrent dans sa composition ainsi modifiée. On obtiendra un déterminant d'ordre (p -+- ï), que nous désignerons par dp+x et qui sera

Vp-HX-

*p-hX "/H-a "p+OL

■*p+OL np-hOL

On pourra évidemment déduire ainsi, du déterminant principal <î, (n —p) déterminants d'ordre (p h- i), en faisant varier a depuis ï jusqu'à n—p, puisque (n—p) lignes du Tableau (T) n'ont pas été employées dans la formation de S.

Ces (n —p) déterminants d'ordre p -+- 1 sont appelés, à leur tour, les déterminants caractéristiques du système (ï).

Lorsque y? est égal à n, toutes les lignes du Tableau (T) figurent par leurs p premiers éléments dans le déterminant principal d, et il n'existe aucun déterminant caractéristique du système (ï).