SwV à résoudre le système

ax-+- by -hcz = b -+- c, b x •+- cy ■+- az = c ■+- a, ex -h ay -+- bz = a -h b.

Le Tableau des coefficients des inconnues est le déterminant du troisième ordre

abc

que nous avons déjà calculé (67) et qui a pour valeur

Supposons d'abord ce résultat différent de zéro. Le Tableau des coefficients des inconnues représentera alors le déterminant principal, et il n'existera aucun déterminant caractéristique. Les équations données seront donc compatibles et, puisque toutes les inconnues sont principales, ces équations admettront une solution unique et déterminée, fournie par les formules de Cramer.

On aura, par conséquent, b-{-c

abc b c a c a b

Le numérateur devient d'ailleurs, en ajoutant ses deux dernières colonnes,

On a donc De même

ba-

hc c -a a hb b

Le numérateur devient ici, en retranchant la troisième colonne de la

deuxième,

abc

et Ton a Enfin

et, en retranchant dans le numérateur la deuxième colonne de la troisième, on retrouve encore le dénominateur; par conséquent, il en résulte aussi

Admettons maintenant qu'on ait a = b = c.

Le déterminant du troisième ordre constitué par le Tableau des coefficients des inconnues sera alors nul, et il faudra considérer le premier déterminant du deuxième ordre déduit du Tableau devenu

tandis que les termes tout connus seront tous égaux à ia. Ce déterminant du deuxième ordre

= ai — at) a a I

étant lui-même nul, on sera conduit à prendre pour déterminant principal le déterminant du premier ordre a.

Le seul déterminant caractéristique sera alors

ia ia

Ainsi, il n'y a qu'un déterminant caractéristique, et il est nul. Les équations données sont donc compatibles ; mais, comme il n'y a qu'une inconnue principale sur trois inconnues, ces équations sont indéterminées et l'indétermination est de l'ordre /w— /?=3 — 1 = 2, c'est-à-dire du deuxième ordre. On a d'ailleurs, pour la seule inconnue principale #, exprimée en fonction des deux autres inconnues y et s, et d'après les formules générales de M. Rouché,

la — ar — az •

x= jji =2 — j — z,

comme on le vérifie immédiatement sur les équations mômes.