Soit à résoudre le système
*h- y+ z= 9, 3x— y -\-iz = io, 2x+ yy — 3z = 8, ax — by -h cz = io, ax-*r by^-cz=z^^ ioax-+-3by — cz = a6.
Le Tableau des coefficients des inconnues sera
oa
Comme on a n = 6 et m = 3, p ne peut dépasser 3. Nous prendrons donc, dans ce Tableau, le déterminant du troisième ordre
comme ce déterminant n'est pas nul, nous le choisirons pour déterminant principal. Nous aurons alors trois déterminants caractéristiques :
ioa
Pour que les équations données soient compatibles, il faut que ces trois déterminants caractéristiques soient nuls. Si un seul n'était pas nul, il y aurait incompatibilité.
Il faut donc chercher les valeurs de ces déterminants et les égaler à zéro. On aura ainsi à résoudre trois nouvelles équations, où les inconnues seront a, b> c. Suivant que ces nouvelles équations seront compatibles ou incompatibles^ il en sera de môme des six équations données.
Considérons le premier déterminant caractéristique et faisons-lui subir les modifications suivantes, qui ne changent pas sa valeur. Retranchons la deuxième ligne de la première; ajoutons ensuite la deuxième colonne
à la première et retranchons la troisième colonne de la quatrième; ajoutons enfin la deuxième colonne à la troisième, multipliée par deux. Nous aurons successivement
IO
Multiplions par 2 les deux premières colonnes du nouveau déterminant; retranchons ensuite la première colonne de la deuxième et la deuxième colonne de la troisième; divisons alors la première colonne par 2, puis la première ligne par le même facteur; enfin retranchons la première colonne des deux dernières. Nous aurons successivement et finalement
a — b ic — b 20 — c
la — xb 4c — 2b
ia — ib 4e — *a
2 22 9 —16 9 a — /; 4c — 2a 20-+- 26— Se
a — b ic — 2a 20-+-2& — 5c
En égalant cette valeur à zéro, nous obtiendrons, pour première équation de condition,
En opérant d'une manière identique sur les deux autres déterminants caractéristiques, nous obtiendrons les deux autres équations de condition
iortH-9^ — 5a = 26.
Le Tableau des coefficients des inconnues dans les trois équations de condition est
En divisant la dernière colonne par 5 et en ajoutant ensuite la troisième ligne aux deux premières, on a, pour sa valeur,
Ce déterminant n'étant pas nul est le déterminant principal du système. 11 n'y a donc pas de déterminants caractéristiques, et les équations considérées sont compatibles. Comme toutes les inconnues sont principales, on appliquera les formules de Cramer.
Le numérateur de la valeur de a sera
On a donc
io—3 1 22 3 1 i3 9 — 1 a3 6 o 35 12 o i3 9~i
tf = — 7xr- = a.
En suivant une marche identique pour les numérateurs des valeurs de b et de c, on trouvera
b = 4 et c = 6.
Ces valeurs de af by c rendant les six équations données compatibles, il
suffira de considérer les trois premières pour avoir x, y, z et pour achever la résolution du système.
Le Tableau des coefficients des inconnues étant dans ce cas
ce déterminant du troisième ordre sera le déterminant principal des équations choisies, s'il n'est pas nul. Or il a pour valeur, en retranchant la première colonne des deux autres,
Il n'y a donc pas de déterminant caractéristique, les équations sont bien compatibles et les inconnues, toutes principales, seront fournies par les formules de Cramer. Le numérateur de l'expression de x aura pour valeur, en se servant de la règle indiquée au n° 65, c'est-à-dire en multipliant respectivement les trois lignes du déterminant qui représente ce numérateur par les facteurs 6, 3, 2,
La valeur de x est donc
En suivant une marche identique pour les numérateurs des valeurs de jr et de z, on trouvera
et
99. 6° Chercher la condition qui doit être remplie pour que deux équations du second degré à une inconnue aient une racine commune (Alg. élém., 246).
Soient les deux équations
aix*-\-bix = — ct> atxi H- btx = — <?j,
où x2 et x peuvent être regardées comme deux inconnues différentes au premier degré. Pour la racine commune supposée, ces deux équations doivent être compatibles.
Si le déterminant
«i bx
at b%
n'est pas nul, ce sera le déterminant principal du système, et il n'y aura pas de déterminant caractéristique. Le système sera alors compatible. Toutes les inconnues étant principales, on aura, pour valeur de .r*,
— Ci bi
— ci bt
at
biCt—Cib% ciibt— bxat
ax — c,
bi
Ci at — a{ c%
at — c,
at
bt
a\bt — biat
et,' pour valeur de x,
La condition cherchée est donc évidemment
(nrt2— aict)* bjCi—Cjbt (aibt—biat)* «i^,— biat ou
(et*,— tfK, )* = (*!&,— biat)(biCi— Cibt),
et la racine commune a pour expression
Cjat— ajCt aibt — bxa2
Si le déterminant du deuxième ordre
ax bi ar bt
était nul, c'est-à-dire si Ton avait
tfi&i — Z>i#j = o,
on prendrait at pour déterminant principal du premier ordre. Le déterminant caractéristique correspondant serait
ai —Ci a% — c%
et la condition de compatibilité deviendrait
c1rt,— a1c,= o;
mais toutes les inconnues n'étant pas principales, le système serait indéterminé. Et, en effet, les relations précédentes donnant
f*i £1 __ Ci at bt ct '
les équations proposées ont les mômes racines (Alg. élém., 247) ou se réduisent à une seule.
