Une expression telle que

axx-\- bx2-\- cxz-+-, . . -f- lxn

^im

où a, b, c, . . ., / sont des coefficients numériques ou algébriques indépendants des inconnues xX9 x^ xz, . . ., xmt toutes au premier degré, constitue une forme linéaire et homogène de ces inconnues.

Une pareille expression égalée à zéro représente une équation linéaire et homogène à m inconnues. Ainsi, dans toute équation linéaire et homogène, le terme tout connu est nécessairement nul.

101 . Le théorème général de M. Rouché est immédiatement applicable aux systèmes d'équations linéaires et homogènes.

D'après ce qui précède, en effet, les déterminants caractéristiques d'un pareil système, s'il en existe, sont tous nuls, leurs dernières colonnes se trouvant composées de termes tout connus ou d'éléments nuls (87, 52). Les équations proposées sont donc toujours compatibles (89, i°); ce qui est d'ailleurs évident a priori, car elles admettent toujours la solution

X* • X% ^— Xo ^^^ ... — — o»

Nous n'avons donc plus à tenir compte que de la seconde partie de l'énoncé général du n° 89 et, en la modifiant légèrement, nous dirons que :

Tout système de n équations linéaires et homogènes à m in-

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 91

connues admet la solution unique xx = xt = xz =: . . . = xm = o ou est indéterminé, suivant que les inconnues sont ou non toutes principales.

Ce nouvel énoncé répond à tous les cas qui peuvent se présenter pour les équations linéaires et homogènes.

102. Supposons /i — m, c'est-à-dire un nombre égal d'équations et d'inconnues. On a alors le système

at xx -+- bt xt 4- cx xz -h . . . H- li xn ■= o, fli«i+ b% xt 4- ct x3 h- . . . 4- /, xn =z o,

anxt-h bnxt-t- cnx3 + . . .-{- lnxn=i o.

Dans cette hypothèse, le système est ou non indéterminé, suivant que le déterminant des coefficients des inconnues est ou non égal à zéro.

Admettons qu'il soit indéterminé; c'est-à-dire que le déterminant des coefficients des inconnues soit égal à zéro, auquel cas il ne pourra pas être déterminant principal: les inconnues ne seront donc pas toutes principales (87, 101).

Il se présente alors un fait remarquable :

Les n inconnues sont indéterminées, mais les rapports de n — i dentre elles à la niime sont, en général, déterminés.

Divisons en effet les n équations par la dernière inconnue xn\ elles deviendront

at ho, h Cj h . . . = — lu

xn xn xn

a2 — * -*-£« — 4-Cj — -+-... = — /î, x„ xn xn

Xn Xn X/i

En prenant pour inconnues les n — i rapports — -> — -> î, ..., -±ii, nous aurons à considérer un système de n équa-

tions linéaires, non homogènes, à«-i inconnues. Dans le Tableau des coefficients des inconnues, prenons

les n — i premières lignes et les n — i premières colonnes. Si le déterminant correspondant n'est pas nul, il sera le déterminant principal du système. On ne pourra alors former que le seul déterminant caractéristique (87)

al

àt

On

bn

Pour que les n équations à n — i inconnues soient compatibles, il faut donc que ce déterminant caractéristique soit égal à zéro. S'il en est ainsi, toutes les inconnues étant principales, le système admettra une solution unique et déterminée (89).

103. La remarque que nous venons de faire conduit en même temps à un théorème qui est d'une grande importance, notamment en Géométrie analytique.

Si l'on a un système de n équations du premier degré contenant n — i inconnues, le résultat de V élimination de ces n — i inconnues s'obtient en général immédiatement en égalant à zéro le déterminant du nième ordre formé par les n* coefficients des équations données, y compris leurs termes tout connus.

En effet, comme on vient de le voir (102), en égalant ce déterminant à zéro, on exprime que les équations données sont compatibles, où Ton écrit l'équation de condition qui doit exister entre leurs coefficients pour qu'elles soient compatibles. Or cette équation de condition résulte précisément de l'élimination des n — i inconnues entre les n équations.

L'équation ainsi obtenue s'appelle la résultante du système proposé.

Il est évident que cette résultante reste la même, que les termes tout connus soient écrits dans le premier ou dans le second membre des équations, car une quantité nulle dont on change le signe (54) reste nulle.

Nous avons démontré le théorème précédent d'une autre manière en Algèbre élémentaire (Alg. élém., 193).

Des relations linéaires et homogènes.

104. Pour qu'un déterminant A soit nul, il faut et il suffit qu'il existe entre les éléments des différentes lignes ou des différentes colonnes des relations linéaires et homogènes.

Supposons, en effet, qu'on ait

ax bx cx at bt c,

Prenons maintenant les éléments de ce déterminant comme coefficients dans un système de n équations linéaires et homogènes à n inconnues, système toujours compatible (101); nous aurons

a\ x\ "+" ^1 x% "+" ci x* + • • • +'h xn'=r- o,

a\ x\ "+" ^t x\ "+" c\ xi -+-...-+- 1% Xaz=z o,

anxx 4- bnxt-t- cnxz-\-, . . -h /»&„-= o.

Si le déterminant A est nul, il ne pourra pas être le déterminant principal du système, toutes les inconnues ne seront pas principales, et le système, étant alors indéterminé (101), admettra, pour les inconnues xu xt, x99 . . ., xn, des solutions différentes de zéro. Il existera donc bien entre les éléments des différentes lignes du déterminant A des relations linéaires et homogènes.

Cette condition entraîne réciproquement la nullité de A ; car, si les équations linéaires et homogènes indiquées admettent des solutions différentes de zéro, elles forment un système indéterminé (101). Toutes les inconnues ne peuvent donc être principales, et Ton a nécessairement A = o.

Nous avons déjà démontré cette réciproque d'une autre manière à la fin du n° 57.