Nous démontrerons encore ce théorème

Soient les fonctions ou les formes linéaires et homogènes

q4 algèbre supérieure.

des n variables xi9 xi9 a?3, . . . , xn9

Xi = ax xl-h b\ x% -+- cx xz -h . . . -4- ly xn} Xj = «i xl ■+- 6j j?j -+- c2 a?3 -h . . . -h /2 xn9 >

X„ = an^i-H 6rt^,-i-cna:, + . . .-h lnxn.

Pour qu'il y ait une relation linéaire et homogène entre ces formes Xt, Xj, . . ., X„, il faut et il suffit que le déterminant A des coefficients des variables correspondantes xi9 xt, . . . , xn, soit égal à zéro.

En effel, si Ton suppose A = o, les équations

X, = o, Xj=o, ..., X„=o

formeront un système indéterminé et admettront nécessairement, pour xu xt9 xz, ..., xn9 des solutions non nulles (101). Si l'on désigne une de ces solutions par al7 aiy a,, ..., <xn. on pourra évidemment écrire, pour cette solution,

GCiXt-hajXj-H a3X3-+-. . .-Ha„X„=o,

relation linéaire et homogène entre Xl9 X„ X3, . . ., Xn.

Réciproquement, si une pareille relation d'identité existe pour des valeurs au as, oc3, ..., a„, de xu xi9 xi9 ..., xn, différentes de zéro, les équations Xt = o, Xt=o, . . ., Xn = o, admettent des solutions non nulles. Elles forment donc un système indéterminé, et l'on ai = o.

Applications.