i° Soit à résoudre le système
ax-\-ay + bz = o, ax -h cy-h bz = o, bx-h by -haz = o.
Le Tableau ou le déterminant des coefficients est
ALGEBRE SUPÉRIEURE. g5
En retranchant la deuxième ligne de la première, on a immédiatement
Si les deux facteurs (a — c) et («* — b2) sont différents de zéro, le déterminant posé est le déterminant principal du système, toutes les inconnues sont principales, et le système admet la solution unique et déterminée (101)
Si Ton a a = c ou **♦£', le déterminant du troisième ordre considéré est nul, toutes les inconnues ne sont pas principales, et le système est indéterminé (101).
Supposons a=c. On doit passer au déterminant du deuxième ordre
= ac — à1 = o.
Comme il est aussi égal à zéro, il faut prendre le déterminant du premier ordre a et employer les formules générales de M. Rouché (91 ); l'indétermination est du deuxième ordre, et l'on a simplement, y et z demeurant arbitraires,
— ar — bz b
D'ailleurs l'hypothèse a = c réduit le système aux deux équations
ax -f- ay -f- bz = o, fix -\-by -haz = o.
comme elles sont compatibles, on doit alors avoir
ou
Ainsi, en même temps que a = c, on a nécessairement b = zka. Il en résulte
x = — y — z ou x= — / + 2.
107. 2° On demande d'appliquer la remarque du n° 102 au système de trois équations homogènes à trois inconnues.
Soient les équations
atx-hbiy -ï-ciz = o, atx H- b%y -h ctz = o, a%x -+- bzy -+- c*z = o.
Si le déterminant des coefficients est supposé nul, le système est in-
déterminé (101 ). Cherchons les rapports des deux premières inconnues à la troisième, en divisant par z les deux membres de chaque équation. Nous aurons
En prenant dans le Tableau des coefficients des inconnues - et — les
deux premières lignes et les colonnes correspondantes, nous aurons le déterminant
I «1 bt
I a% bt
Ce déterminant, s'il n'est pas nul, représentera le déterminant principal du système, et il conduira à son seul déterminant caractéristique. En égalant à zéro ce dernier déterminant, la relation
ax bt — cx at bt — ct a* bz — c8
qui a nécessairement lieu lorsque le système donné est indéterminé, exprime que le nouveau système qu'on en a déduit est compatible (89). Les inconnues étant d'ailleurs toutes principales, on a, d'après les formules de Cramer,
— c, bt
at bt
— ct bt
at bt
at — ex
«1 bx
at — c,
at bt
a^b% — bïa\
___ Uj c% — ci at aibi—biO*
(Jlg. élém., 159, 191).
108. 3° Chercher s'il existe une relation linéaire et homogène entre les trois formes linéaires et homogènes des trois variables x, y% z,
Xi = Sx -h 7J-+- 6z, Xs = 7-r-t- 5/-t-3s, X3= 4-r-f- 5y-t-6z.
Considérons le déterminant des coefficients des variables
En multipliant d'abord sa seconde ligne par 2, nous aurons successivement
if
La relation cherchée existe donc (105), et les équations X! = o, Xt = o, X8 = o forment un système indéterminé. Prenons le déterminant du deuxième ordre
puisqu'il n'est pas nul, c'est le déterminant principal du système. Comme les inconnues ne sont pas toutes principales, il faut employer les formules générales de M. Rouché (91), et Ton a
Si Ton fait, par exemple, z
, on a, en môme temps, x — 1 et y = — 2. La relation linéaire et homogène correspondante entre les trois formes données est alors
Xi — 2Xt-4-X3 = 0.
109. Nous terminerons ces Chapitres fondamentaux sur les déterminants, en disant, avec M. Sylvester :
a La théorie des déterminants peut être regardée comme une Algèbre au-dessus de l'Algèbre, comme un calcul qui permet de combiner et de prédire les résultats des opérations algébriques, de la même manière que l'Algèbre elle-même dispense de l'exécution des opérations particulières de l'Arithmétique. »
De C. - Court. ML
