DES NOMBRES INCOMMENSURABLES

Définitions préliminaires.

110. Pour ne laisser aucun point des programmes sans réponse immédiate, nous reviendrons ici sur la théorie des nombres incommensurables, déjà approfondie en Arithmétique.

Nous rappellerons d'abord une série de définitions déjà connues (Arithm. et Géom.).

111. i° Lorsqu'une grandeur ou une quantité variable X se rapproche indéfiniment d'une grandeur ou d'une quantité fixe A, de manière que la valeur absolue de la différence A — X puisse devenir et rester plus petite que toute quantité donnée aussi petite qu'on voudra, on dit que A est la limite de X, et l'on écrit

limX=A.

112. 2° Une quantité variable ne peut tendre vers deux limites distinctes.

Supposons, en effet, qu'une pareille quantité puisse avoir deux limites différentes a et b, telles que

. * d et soit o < - •

Les intervalles compris, d'une part, entre a -\- ô et a — ô et, d'autre part, entre b -+- S et b — d, n'ont évidemment rien de commun. Les quantités

b — d, b -f- è, a — S, a ■+- d, sont, en effet, rangées par ordre de grandeur ; car la différence

entre les deux termes intermédiaires est égale à

a — b—2$ ou à d — 2§,

quantité positive d'après l'hypothèse (Alg. élém., 214).

Cela posé, une quantité variable qui aurait pour limite a Unirait par tomber entre a -+- S et a — à (111), tandis qu'une quantité variable qui aurait pour limite b finirait par tomber entre b -+- d et b — o. La quantité variable considérée finirait donc, en tendant vers ses deux limites différentes a et b, par être comprise à la fois dans deux régions complètement séparées, ce qui est impossible.

113. 3° Lorsque deux grandeurs sont multiples d'une troisième grandeur, cette troisième grandeur se nomme leur commune mesure.

Deux grandeurs sont comme nsu râbles ou incommensurables entre elles, suivant qu'elles ont ou qu'elles n'ont pas de commune mesure.

114. 4° Lorsqu'une grandeur a une commune mesure avec l'unité choisie, cette commune mesure est l'unité elle-même ou une partie aliquote de l'unité. Dans le premier cas, la grandeur considérée est mesurée par un nombre entier; dans le second cas, elle .est mesurée par un nombre fractionnaire.

Réciproquement, toute grandeur mesurée par un nombre entier ou par un nombre fractionnaire est commensurable avec l'unité; car cette grandeur est un multiple de l'unité ou d'une partie aliquote de l'unité.

Une grandeur incommensurable avec l'unité ne peut donc être mesurée, ni par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire.

115. 5° Un nombre est dit commensurable ou incommensurable, suivant que la grandeur dont il exprime la mesure est commensurable ou incommensurable avec l'unité.

Les nombres commensurables sont les entiers et les nombres fractionnaires.

Les nombres incommensurables ne peuvent être représentés dans leur intégrité que par des symboles particuliers; mais on peut toujours indiquer des nombres commensurables qui en approchent autant qu'on veut. C'est ce que nous allons faire voir.

IOO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

116. Considérons une grandeur A incommensurable avec l'unité que nous désignerons par B. Elle sera mesurée par un nombre incommensurable « (115).

n étant un nombre quelconque, entier ou fractionnaire,

formons la grandeur -, et admettons qu'elle soit contenue

m fois dans A, avec un reste moindre que — : le plus grand

multiple de — contenu dans A sera m - > et la grandeur incommensurable A sera comprise entre les deux grandeurs commensurables

m — et (m -h i) — •

Si Ton conserve toujours B pour unité, ces deux grandeurs commensurables seront mesurées par les nombres

m 4 to + i — et

On dit alors que — et sont deux valeurs, approchées

à moins de -, du nombre incommensurable a qui mesure A, la première par défaut, la seconde par excès, et Ton a