OL
117. Pour aller plus loin, désignons par an et an ces valeurs approchées de a.
Remarquons que, d'une manière générale, an ne croît pas toujours avec n. Si nous prenons, par exemple, la diagonale d'un carré en choisissant son côté pour unité, cette diagonale est représentée par y/2 (Géom., 169), et si l'on extrait cette
racine par défaut, à — près d'abord, à — près ensuite (ylrt'M/n.,283), on trouve pour résultats — et — , c'est-à-dire
Pour lever toute difficulté, nous appellerons valeur pria-
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. IOI
cipale (!) de a, à moins de -par défaut, la plus grande de
toutes les valeurs de an quand on fait croître n depuis zéro jusqu'à n, et nous désignerons cette valeur principale par a„. De cette manière, quand n croîtra, la valeur principale <xn croîtra aussi ou, du moins, ne décroîtra jamais.
Remarquons, de môme, que a'n ne décroît pas toujours à mesure que n augmente. Si nous considérons, par exemple, le côté du triangle équilatéral inscrit dans une circonférence dont le rayon est l'unité choisie, ce côté est représenté par v/3 (Géom., 205), et si Ton extrait cette racine par excès, à
— près d'abord, à — près ensuite, on trouve pour résultats
— et — >c est-a-dire a' > a' 10 11 "+1 *
Nous appellerons donc aussi valeur principale de a, à
moins de - par excès, la plus petite de toutes les valeurs de
an quand on fait croître n depuis zéro jusqu'à n, et nous désignerons cette valeur principale par <z'n. De cetle manière, quand n croîtra, la valeur principale a'n décroîtra ou, du moins, ne croîtra jamais.
118. Cela posé, <xn mesurant une grandeur inférieure à A reste égalementinférieure, quel que soit n, à Tune quelconque des valeurs a'n approchées par excès ; et, comme a„ ne peut que croître (117) lorsque n croît indéfiniment, la série des valeurs de <xn tend nécessairement vers une certaine limite fixe.
De même, <x'n mesurant une grandeur supérieure à A reste également supérieure, quel que soit n, à Tune quelconque des valeurs an approchées par défaut; et, comme an ne peut que décroître (117) lorsque n croît indéfiniment, la série des valeurs de an tend aussi vers une certaine limite fixe.
Ces deux limites de <xn et de <x!n se confondent d'ailleurs ; car, par définition (117), les valeurs principales an et oin sont toujours comprises entre an et a'n et, par suite, leur différence
(') Voir Traité de Géométrie, par Eue. Rouché et Cn. db Comberousse, 5- édition, revue et augmentée, i883. Cette idée de valeur principale appartient à M. RoucHft.
est moindre que
fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut, quand n croît indéfiniment suivant une loi quelconque.
Cette limite commune qui représente aussi, d'après ce qu'on vient de dire, celle vers laquelle tendent en même temps les deux séries de valeurs correspondantes de an et de an, est le nombre incommensurable oc.
La grandeur incommensurable A est, à son tour, la limite commune des grandeurs commensurables mesurées par ces deux mêmes séries de nombres commensurables.
119. Nous ajouterons, pour préciser les notions qu'on vient de rappeler, que, dans la pratique, il importe peu qu'il y ait ou non de commune mesure entre une grandeur et l'unité choisie, parce que les subdivisions de cette unité deviennent rapidement assez petites pour que le reste de la grandeur à évaluer échappe à toute appréciation physique.
Mais, quand il s'agit de grandeurs géométriques, par exemple, liées par des relations déterminées, on peut démontrer théoriquement leur incommensurabilité. Ainsi on prouve que la diagonale et le côté du carré n'ont aucune commune mesure, et cela, que l'unité choisie soit le côté du carré ou toute autre grandeur.
On voit donc que, si l'on n'étendait pas l'idée de nombre comme nous venons de le faire, il faudrait distinguer les cas où les grandeurs peuvent être exprimées en nombres avec une certaine unité, sans pouvoir l'être avec une autre, ou bien encore se résigner à admettre dans la même question des grandeurs mesurables à côté de grandeurs non susceptibles d'être exprimées en nombres, quelle que soit l'unité choisie (*). L'alternative ne saurait être douteuse.
Opérations sur les nombres incommensurables.
120. Nous devons maintenant revenir sur les opérations usuelles appliquées aux nombres incommensurables.
(') J.-M.-C. Duhamel, Des méthodes dans les sciences de raisonnement, !!• Partie, p. 70.
Puisque les nombres ne sont que la représentation des grandeurs, on est conduit par ce qui précède à cette définition générale :
Le résultat de toute opération sur des nombres incommensurables est la limite des résultats fournis par la même opération appliquée à leurs valeurs approchées à moins de — >
par défaut ou par excès, lorsque n croit indéfiniment, suivant une loi quelconque.
Nous allons vérifier, pour chaque opération, que cette limite existe et qu'elle ne dépend pas de la manière dont n croît indéfiniment.
Dans ce qui suit, nous désignerons para et (3 les deux nombres incommensurables proposés; an et a'in bn et b'n seront les valeurs de ces nombres approchées par défaut et par excès à
moins de — ; <xn et ant (3* et (3'„, les valeurs principales correspondantes; a est la limite commune de an, a'n, <xn, <x'ny comme $ celle de bnj b'nf (3„, Ç>,n quand n croît indéfiniment (118).
121. Addition. — Il faut définir la somme de deux nombres incommensurables a et (3.
Formons les deux sommes <*„-+- (3„ et a'„-h fi'H. Elles conslituent deux séries correspondantes, lorsqu'on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.
Les nombres de la première série, sommes des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître (117), croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, sommes des valeurs principales par excès, ne pouvant croître (117), décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrètant à un rang quelconque, la différence
(<+£',,)-(««+!V) ou («;-««) -h (p#M- p.)
est moindre, d'après la définition des valeurs principales, que la différence
(a'n — an) + (ù'n— bn)= î.
fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut, pour n croissant indéfiniment suivant une loi quelconque.
C'est cette limite commune qui est la somme a -h p.
La même définition s'appliquera évidemment au cas de plus de deux nombres, pourvu que les nombres à ajouter soient en nombre fini. Nous reviendrons sur ce point.
122. Soustraction. — On dit que a est plus grand que (3, si l'on a, quel que soit n, a„> P'„.
11 faut définir la différence de deux nombres incommensurables a et p.
Formons les deux différences <xn— p* et an— |3ft en associant les valeurs principales par défaut aux valeurs principales par excès, et réciproquement. Elles constituent deux séries correspondantes, lorsqu'on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.
Les nombres de la première série, ne pouvant décroître d'après la définition des valeurs principales, croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, ne pouvant croître, décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrêtant à un rang quelconque, la différence
(«i- &.)-(«»- ft) ou (^-aJ-t-^-p*) est moindre que la différence
qui tend vers zéro autant qu'on veut pour n assez grand. C'est cette limite commune qui est la différence a — p. Comme on a, quel que soit n9
on a aussi, à la limite,
et la différence a — p est le nombre gui, ajouté à p, reproduit a.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. Io5
123. Multiplication. — Il faut définir le produit de deux nombres incommensurables a et (3.
Formons les deux produits an$n et oc'nfi'n qui constituent deux séries correspondantes quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.
Un raisonnement identique à celui du n° 121 montre que les nombres de ces deux séries convergent respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrotant à un rang quelconque, on a
et les deux fractions du second membre de cette identité (Alg. éle'm., 61) tendent en même temps, autant qu'on veut, vers l'unité (118), lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque.
C'est cette limite commune qui est le produit aj3.
La même définition s'appliquera évidemment au cas d'un nombre quelconque de facteurs incommensurables, pourvu que ce nombre soit fini. Nous reviendrons sur ce point.
Comme on a
quel que soit n, on a aussi, à la limite,
La valeur du produit a(3, telle qu'on vient de la définir, est donc indépendante de l'ordre des facteurs.
Il en résulte que le théorème fondamental relatif au changement d'ordre des facteurs d'un produit (Arithm., 66) s'étend, avec toutes ses conséquences, au cas d'un nombre quelconque de facteurs incommensurables.
12i. Division. — Il faut définir le quotient de deux nombres incommensurables a et (3.
En associant les valeurs principales par défaut aux valeurs
principales par excès, et inversement, formons les deux quo-
ol a!
tients Ta? et ~> qui constituent deux séries correspondantes,
Pn Pn
quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.
ÎOÔ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Un raisonnement identique à celui du n8 122 montre que les nombres de ces deux séries convergent respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrêtant à un rang quelconque, on a
«« . a». CÇn fin
fia ' fin ~~ *'a fi'n '
et les deux fractions du second membre de cette identité {Alg. élém., 62) tendent en môme temps, autant qu'on veut, vers l'unité (118), lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque.
C'est cette limite commune qui est le quotient -'--
Gomme on a, quel que soit /?,
OCn
on a aussi, à la limite,
a* — P/» gr '
et le quotient ~ est le nombre qui, multiplié par fi, reproduit a.
125. Puissances. — Ce que nous avons dit relativement au produit de deux ou de plusieurs facteurs incommensurables (123) doit subsister. lorsqu'on suppose tous les facteurs égaux entre eux. C'est ce qu'on peut vérifier directement.
m étant un nombre quelconque entier et positif, mais y?/*/, il faut définir la puissance mième d'un nombre incommensurable a.
Formons les deux puissances (a„)met (<x'n)m. Ces puissances constituent deux séries correspondantes, quand on fait croître /* indéfiniment d'une manière quelconque.
Les nombres de la première série, puissances des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître (117), croissent en général, en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, puissances des valeurs principales par excès, ne pouvant croître (117), décroissent en général, en restant supérieurs à un
nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrêtant à un rang quelconque, on a (Arithm., 218)
'n)m \atj
et la fraction entre parenthèses du second membre de cette identité tend autant qu'on veut vers l'unité, lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque (118).
C'est cette limite commune qui est la puissance mième, a"\ de a.
126. Racines. — C'est l'extraction des racines qui nous a conduit, en Arithmétique, à la notion des nombres incommensurables.
D'une manière générale, extraire la racine mièm* d'un nombre, en supposant m quelconque, mais entier et positif, c'est chercher le nombre qui, élevé à la puissance m, reproduit le nombre donné.
Il résulte de celte détinition que les racines mièmo* des nombres entiers qui ne sont pas des puissances exactes du même degré m d'autres nombres entiers, et les racines mièm** des fractions irréductibles dont les deux termes ne sont pas des puissances exactes de degré m, sont des nombres incommensurables (Arithm., 218, 219).
Si nous considérons un nombre positif A, il y aura donc trois cas à distinguer.
Si A est entier et si l'on peut trouver un nombre entier a, tel qu'on ait
a sera la racine mièmo de A.
Si A est fractionnaire et égal à —, on peut poser
Si Ton trouve alors un nombre entier a, tel qu'on ait am=pqm-1,
on a aussi évidemment
et le nombre fractionnaire - sera la racine mièa,e de A.
On voit que V extraction de la racine d'un nombre fractionnaire peut toujours se ramener à V extraction de la racine d'un nombre entier.
Nous supposerons, par conséquent, comme troisième hypothèse, que A est entier et qu'il ne représente pas une puissance mièœo exacte. Sa racine mièmo sera alors un nombre incommensurable a, qu'il s'agit d'abord de définir.
n étant un entier quelconque, admettons qu'on veuille
obtenir la racine mième de A, à - près, par défaut ou par
excès.
Si nous considérons la suite des puissances mièmM des nombres entiers consécutifs
i"S 2m, 3'", ..., km, (£-+-i)'», ...,
le produit entier An"1 tombera nécessairement entre deux termes consécutifs de cette suite, tels que km et (A--hi)m, de sorte qu'on aura
ou
km< Anm<(k-hi)m
lr Iç I t »
— et sont les racines mième« de A, à - près, par défaut
et par excès. Nous les représenterons (120) par an et anf et les valeurs principales correspondantes (117) seront an et an. Quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque, ces valeurs principales constituent deux séries conjuguées auxquelles le raisonnement général adopté en traitant des autres opérations (121 etsuiv.) est encore applicable. Les termes des deux séries convergent donc respectivement vers une limite déterminée, gui est la même pour les deux suites; car, en s'arrêtant à un rang quelconque, on a (118)
et la fraction - tend vers zéro autant qu'on veut, quand n
croît indéfiniment suivant une loi quelconque. Cette limite commune est le nombre incommensurable
127. Si, au lieu d'un nombre entier quelconque A, on a maintenant à considérer un nombre incommensurable L, la racine mièmo de L est, a fortiori, un nombre incommensurable X qu'on définit comme il suit.
Remplaçons L par deux valeurs commensurables appro-
chées par défaut et par excès à - près, telles que - et >
n étant un entier quelconque.
Cherchons la racine miàm0 de la première quantité — à —
r •+- 1 près par défaut, et la racine mièmo de la seconde quantité
à - près par excès (126). Nous désignerons ces deux racines
par in et l'n. Les valeurs principales correspondantes X„ et Xn constituent deux suites conjuguées tendant chacune vers une limite déterminée, qui est la même pour les deux suites, quand n croît indéfiniment.
En effet (126), la limite de ln est le nombre incommensurable
et celle de Vn est le nombre incommensurable
On a donc, par définition,
(V)*-(A)*=^tl-- = I, v ' v ' n n n
fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut quand on fait croître n indéfiniment suivant une loi quelconque. On a, d'ailleurs (14, 124, etc.),
(X')«(X)'»=(X/— X)(X''"-14-XX'"-,4-XîX''»-34-...4-X'»-1).
Si le premier membre de cette égalité tend vers zéro, il faut donc qu'il en soit de même du premier facteur du second membre (X'— 1), puisque le facteur qui lui est associé est une somme de nombres positifs.
Il en résulte que ln et l'n ont bien la môme limite.
C'est cette limite commune, dont nous venons de démontrer l'existence, qui est le nombre incommensurable
