CHAPITRE IX
CALCUL DES VALEURS ARITHMÉTIQUES DES RADICAUX. EXPOSANTS FRACTIONNAIRES ET NÉGATIFS.
Observations préliminaires.
128. La puissance mième d'une expression algébrique est le produit de m facteurs égaux à l'expression donnée.
On n'a donc, pour obtenir cette puissance, lorsqu'il s'agit d'un monôme, d'un polynôme ou d'un rapport, qu'à appliquer les règles démontrées précédemment (Alg. élém.y 23, 28, 61).
Lorsque l'expression proposée est elle-même un produit ou une puissance, on a recours aux théorèmes établis en Arithmétique (Arithm., 76, 75), et qui s'étendent immédiatement aux expressions algébriques.
129. La racine mième d'une expression algébrique est Vexpression qui, élevée à la puissance m, reproduit l'expression donnée.
Comme nous l'avons déjà dit souvent, on indique la racine mièmo d'une expression à l'aide du signe \J , affecté de l'indice m. Si a élevé à la puissance m reproduit A, on écrit
a = Va.
Nous verrons plus tard que toute racine miime a m valeurs. Nous nous bornerons ici à quelques remarques indispensables pour préciser la question que nous voulons traiter, et qui découle tout naturellement du Chapitre consacré aux nombres incommensurables.
130. On appelle réelles les quantités positives et négatives. Cela posé, A peut avoir une valeur positive ou négative,
m peut être pair ou impair.
Examinons ces différents cas :
i° Si m est pair et que A soit positif, "sjk. admet deux valeurs réelles, égales et de signes contraires.
En effet, qu'on affecte la valeur absolue de "s/k du signe -+ou du signe —, comme m est pair et que le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif (Alg. élém., 38), on obtient toujours A comme résultat en prenant m facteurs égaux à -h "y/Â ou à —r\/X. Si a désigne la valeur absolue de VA, on a donc, d'une manière générale,
YÂ = :
2" Si m est pair et que A soit négatif, VA ne peut être exprimée par un nombre positif ou négatif, puisque le produit d'un nombre pair de facteurs positifs ou négatifs est positif.
On donne à une pareille expression le nom dfexpression imaginaire, par opposition aux quantités positives ou négatives qualifiées de réelles.
Nous traiterons plus loin de la Théorie et du Calcul des expressions imaginaires (Algèbre supérieure, IIe Partie).
3° Si m est impair, ^A n'a qu'une seule valeur réelle, de même signe que A : en effet, un nombre impair de facteurs positifs donne un produit positif, un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif.
Si l'on désigne par a la valeur absolue de "\/A, abstraction faite du signe de A, on aura donc, d'une manière générale,
VA = -f- a, si A est positif; Va = — a, si A est négatif.
131. Nous conviendrons, dans ce qui va suivre, de regarder les quantités placées sous les radicaux considérés comme ayant seulement des valeurs positives, et nous n'admettrons que les racines positives de ces mêmes quantités (130). Nous nous limiterons ainsi à ce qu'on appelle les valeurs arithmétiques des radicaux.
Les indices des radicaux seront des nombres entiers et positifs et, jusqu'à indication contraire, les exposants des puissances rempliront la même condition.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. I I 3
Calcul des valeurs arithmétiques des radicaux.
132. Il n'y a pas lieu de s'arrêter à X addition et à la soustraction des radicaux. Le plus souvent, on ne peut qu'indiquer l'opération à effectuer. Si des simplifications sont possibles, elles dépendent des transformations que nous allons étudier et de ce qu'on a dit en Algèbre élémentaire sur la réduction des termes semblables.
133. I. Pour multiplier plusieurs radicaux de même indice, on multiplie les quantités placées sous ces radicaux, et Von affecte leur produit du radical commun.
Il faut démontrer l'identité
,v/'â.v/b.Vg=,v/abc,
À, B, C étant des quantités quelconques positives.
Or, pour élever un produit à une puissance, il faut élever à cette puissance chaque facteur du produit (Arithm., 76). On a, de plus, par définition,
(VAr=A.
Enfin, comme nous ne considérons que les valeurs arithmétiques des radicaux (131), un radical n'a qu'une seule valeur Si Ton élève alors à la puissance m les deux membres de l'égalité supposée, on trouve
(VÂ.VB.Vcr^ABC,
ce qui justifie l'énoncé; car, puisque le premier membre, élevé à la puissance m, reproduit ABC, il représente bien, suivant les conventions admises» ^ABC.
134. L'identité qu'on vient de démontrer, et qu'on peut écrire
Vïbc = Vâ.Vb.Vc,
prouve, réciproquement, que, pour extraire la racine d'un produit, il faut extraire la racine de chaque facteur.
On peut donc simplifier l'expression d'un radical lorsqu'il recouvre le produit de deux facteurs, dont l'un est une puissance exacte par rapport à l'indice du radical.
De G. — Court. III. 8
l4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
On a, par exemple,
IJ résulte de cette identité que, pour faire sortir un facteur d'un radical, il faut en extraire une racine marquée par l'indice du radical; et que, réciproquement, pour faire entrer un facteur sous un radical, il faut l'élever à une puissance marquée par l'indice du radical.
135. II. Pour diviser deux radicaux de même indice, on divise les quantités placées sous ces radicaux, et l'on affecte leur quotient du radical commun.
Il faut démontrer l'identité
Vb'vb*
Puisqu'on a toujours (i)
A=gXB,
on a aussi (134)
7Â = Ç/fx7B, *
OU
VÂ m fa
VB V B'
136. III. Pour élever un radical à une puissance, il suffit d'élever à cette puissance la quantité placée sous le radical.
En effet, élever "sfk à la puissance p9 c'est faire le produit de/? facteurs égaux à y A. On a donc (133)
(7â)p=Vâ*.
137. IV. Pour extraire une racine d'un radical, on extrait cette racine de la quantité placée sous le radical, ou l'on multiplie l'un par l'autre les deux indices considérés.
11 faut démontrer qu'on a
En effet, on a démontré en Arithmétique que, pour élever une puissance à une autre puissance, il suffit de multiplier
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Il5
les exposants des deux puissances. On a, par exemple,
(am)P— (aP)m=amP.
Il en résulte que, pour élever a à la puissance mp, on peut indifféremment commencer par élever a à la puissance m, puis le résultat à la puissance/), ou faire l'inverse.
Par conséquent, si Ton élève les trois expressions (i) à la puissance mp, on trouvé A, et ces trois expressions sont bien égales comme représentant chacune la racine m/?iimo d'une même quantité A.
Comme nous l'avons montré en Algèbre élémentaire (Alg. élém., 76), ce théorème permet de simplifier l'extraction des racines numériques, lorsque leur indice ne renferme que les facteurs premiers a et 3.
138. On ne change pas la valeur d'un radical en multipliant son indice par un certain nombre, pourvu qu'on élève à la puissance marquée par ce nombre la quantité placée sous le radical.
Si l'on divise l'indice par un certain nombre, on doit, au contraire, pour ne pas changer la valeur du radical, extraire de la quantité placée sous le radical une racine marquée par le diviseur employé.
Ce double énoncé résulte immédiatement du théorème précédent (137). On a, en effet,
mp/rp^Wp=V^
On peut donc simplifier V expression d'un radical, en supprimant les facteurs communs à l'indice de ce radical et à l'exposant de la puissance qu'il recouvre.
On peut aussi réduire plusieurs radicaux au même indice, en suivant une marche analogue à celle qu'on emploie en Arithmétique pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur ou au plus petit dénominateur commun (Arithm., 191, 192). C'est ce que nous avons montré en Algèbre élémentaire (Alg. élém., 77).
139. Pour multiplier ou diviser des radicaux d'indices différents, on les ramène d'abord au même indice, puis on applique
• les règles précédentes (133, 135).
Il6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Des exposants fractionnaires.
140. Puisqu'on peut diviser par un môme nombre l'indice d'un radical et l'exposant de la quantité qu'il recouvre (138), il est permis d'écrire
mn
\JkmP=km = k~P.
La fraction — a pour numérateur l'exposant de la quantité
placée sous le radical et, pour dénominateur, l'indice de ce radical.
La forme fractionnaire de l'exposant n'entraîne ici aucune remarque, puisque cette forme fractionnaire correspond à un quotient entier; mais il y a avantage évident ou, pour mieux dire, le caractère de V Algèbre conduit nécessairement à étendre, par convention, cette notation, au cas même où V exposant de la quantité placée sous le radical n'est pas divisible par l'indice du radical.
En effet, les règles relatives au calcul des quantités affectées d'exposants, qui ont été démontrées en Arithmétique (Arithm., 73 et suiv.), exigent que ces exposants soient entiers. Mais, en Algèbre, les exposants, eux aussi, peuvent être représentés par des symboles généraux. Il faut donc qu'on puisse supposer ces symboles remplacés par des valeurs quelconques, et d'abord par des valeurs fractionnaires, sans que les règles de calcul soient modifiées, sauf interprétation finale.
Or cette extension sera facilement justifiée si nous admettons conventionnellement l'équivalence des deux expressions
s/\™ et Ap9 m etp étant des quantités entières et positives quelconques.
Le numérateur m de l'exposant fractionnaire — indique
alors à quelle puissance on doit élever d'abord A, et le dénominateur p quelle racine on doit extraire ensuite du résultat Am.
Remarquons, avec soin, que la valeur de la seconde exprès-
sion A? est indépendante de la forme donnée à l'exposant
fractionnaire — {Arithm., 188); il faut donc qu'il en soit de
même de la valeur de la première expression fyX™. S'il n'en était pas ainsi, la convention proposée pourrait entraîner ambiguïté et ne serait pas complètement légitime. Or de
on déduit
11 faut donc qu'on ait aussi
Si l'on ramène les deux radicaux au même indice (138), il vient
et, comme d'après l'hypothèse -^—jona nécessairement
(Arithm. , 388)
mp'^m'p,
les deux radicaux, réduits ou non au même indice, sont bien identiques.
Il est utile d'observer que, pour calculer la valeur numérique d'une puissance fractionnaire, il faut revenir à la forme radicale.
Après ces considérations, il reste à prouver que les règles démontrées dans le cas des exposants entiers ( Arithm. , 73 et suiv.) s'étendent immédiatement au cas des exposants fractionnaires.
141. I. Pour multiplier deux puissances fractionnaires d'une même quantité, on ajoute leurs exposants.
On a, en effet, d'après les théorèmes précédents et en revenant finalement à la forme fractionnaire
Ap x kï= P)f™ x \/Yn =7AfflîxA^
mç + np m n
Pty^mq+np — A p1 = A^ + V .
On peut supposer m ou n égal à i, p ou q égal à i.
Il8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
142. II. Pour diviser deux puissances fractionnaires d' une même quantité, on retranche leurs exposants.
Avec la restriction — > - > qui sera levée bientôt, et en opérant comme on vient de l'indiquer, on a
AJ : A* = v^ : yf\* = P\/Am<i : A"'
mq — np ™0
On peut supposer m ou n égal à i,p ou q égal à 1.
143. III. Pour élever une puissance fractionnaire à une autre puissance fractionnaire, on multiplie les deux exposants.
On peut écrire, en effet,
= V v/'(A'VJ = pykmn = A w — kP x n. On peut supposer mou n égal à 1, p ou q égal à 1 .
144. IV. Pour élever un produit à une puissance fractionnaire, il suffit d'élever chaque facteur à cette puissance.
On a évidemment
(ABC)' = ^(ABC)* = ^A'"B'"C'n
= Ç/ï*Ç'B^^C^=AirB?C?.
Des exposants négatifs.
145. La nécessité de conserver aux symboles algébriques toute leur généralité nous a conduit à admettre les exposants fractionnaires. Nous devons de même admettre les exposants négatifs et chercher l'interprétation dont ils sont susceptibles.
Nous avons vu {Alg. élém., 43) que les exposants négatifs apparaissent lorsqu'on veut appliquer la règle de la division
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. lig
des monômes au cas où l'exposant d'une certaine lettre est plus faible au dividende qu'au diviseur.
Am Soit l'expression -ry^ Si m surpasse n, on en déduit immédiatement
km
£L — km-n
Mais, s* m est plus petit que n et si Ton s'en tient à la définition générale des puissances, l'expression Am-n n'a plus aucun sens.
Posons alors
en désignant par p la différence positive des deux exposants n et m. On peut écrire
Am ___ Am __ Am i__ A" ~~ Am^ ~~ A"1 A' "~~ A*>'
On trouve d'ailleurs, en appliquant la règle de la division des monômes (Alg. élém., 41),
km km
Il est donc naturel d'admettre ou de convenir que les deux expressions
A"' et JL sont équivalentes.
Toute quantité affectée d'un exposant négatif revient ainsi à V inverse de cette quantité affectée du même exposant pris positivement.
Il faut seulement montrer que la notation des exposants négatifs n'implique pas contradiction, en ce sens que, si elle est admise dans le cas où p est positif, elle subsiste par cera même lorsque/; reçoit une valeur négative, telle que — p'.
En effet, p' étant positif, on a, par convention,
or*' = — . ou a*' = — - ,
120 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
c'est-à-dire, précisément,
aP
Il est utile d'observer que, pour calculer la valeur numérique d'une puissance négative, il faut revenir à la forme fractionnaire.
Après ces considérations, il reste à prouver que les règles démontrées dans le cas des exposants positifs, entiers ou fractionnaires, s'étendent immédiatement au cas des exposants négatifs.
146. 1. Pour multiplier deux puissances négatives d'une même quantité, on ajoute leurs exposants.
On a, en effet, d'après des théorèmes connus et la convention adoptée,
krm X À-* — -r= X -rz
— 1 — \-(>n+q) — A(-m)-H-tf)
147. II. Pour diviser deux puissances négatives d'une même quantité, on retranche leurs exposants.
On a de même
A"* A'/ Am
148. III. Pour élever une puissance négative à une autre puissance négative, on multiplie les deux exposants.
On peut écrire, en effet,
J — Am* — A(-m' *'-*) .
(Aw)* A'n*
149. IV. Pour élever un produit à une puissance négative, il suffit d'élever chaque facteur à cette puissance.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. î'Àl
On a, évidemment,
/kHC\-ni — î — f — i ! L — X-mU-mC-»*
^ADXu) — (ABC)m — A,rt B,rt C,n — A,n fi/w Cm — A D X, .
150. En résumant ce qu'on vient de dire sur les exposants fractionnaires et négatifs, on peut énoncer les règles suivantes, qui ne sont plus soumises à aucune restriction relativement à la nature des exposants, entiers ou fractionnaires ■, positifs ou négatifs :
i° Pour multiplier deux puissances d'une même quantité, on ajoute leurs exposants.
2° Pour diviser deux puissances d'une même quantité, on retranche leurs exposants.
3° Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants des deux puissances.
4° Pour élever un produit à une puissance, il suffit df élever chaque facteur à cette puissance.
