THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES
Définitions et notions préliminaires.
151. On attribue à lord Brouncker l'invention des fractions continues; mais la découverte de leurs principales propriétés et de leurs précieux avantages est surtout due à Huygens,
La théorie des fractions continues fournit une nouvelle méthode pour obtenir des valeurs de plus en plus approchées d'un^nombre donné, et c'est ainsi qu'elles s'introduisent naturellement dans l'Analyse.
S'il s'agit, en effet, de trouver une valeur approchée d'un nombre N, le plus simple est d'indiquer sa partie entière a. On peut alors écrire, en supposant y plus grand que 1,
On peut évaluer alors la partie entière b de y et poser
en supposant z plus grand que i. Si c est la partie entière de z, et u une quantité plus grande que 1; si d est la partie entière de a, et v une quantité plus grande que 1, on a, de même,
z-—c~\ — et u — d -+- • u v
En remplaçant successivement, dans l'expression de N, les quantités y, z, u par leurs valeurs, on trouve la valeur de N
sous cette
forme particulière :
N — /ri !
ii — a \ '
Eq continuant les calculs indiqués, deux cas peuvent se présenter.
L'un des nombres y, z, u, v, ... peut être entier. Dans cette hypothèse, l'opération se trouve terminée, et Ton dit qu'on a obtenu le développement exact de N en fraction continue.
Si aucun des nombres y, z> u, v> ... n'est entier, l'opération ne se termine pas et peut se poursuivre d'une manière illimitée, bien que l'égalité (i) subsiste toujours. Si Ton néglige alors l'une des fractions —>->-;->•••> cette égalité ° ° y z u v D
devient approximative, et l'on obtient pour N des valeurs approchées qu'on appelle des réduites ou tes fractions convergentes.
La première réduite est ici a (en négligeant — j; la deuxième réduite est a -+- 7 ( en négligeant - ) ; la troisième réduite est
a h > (en négligeant - ]; et ainsi de suite.
Les dénominateurs successifs y, z, u, ... sont des quotients complets, tandis que les nombres b, c, dy . . . , qui représentent les parties entières de ces dénominateurs, sont des quotients incomplets. On donne encore le nom de frac-
n III
twns intégrantes aux fractions -r> -> -.->
On voit que les quotients incomplets b, c,d, ... sont des nombres entiers positifs au moins égaux à 1, et que a, seul, peut être nul si N est un nombre inférieur à l'unité.
152. I. Tout nombre commensurable correspond à une fraction continue limitée et, réciproquement, toute fraction continue limitée représente un nombre commensurable.
Soit le nombre commensurable -^- Divisons A par B : soient
a le quotient et r le reste. Nous aurons (Arithm., 212, 185), en ramenant à l'unité le numérateur de la fraction complémentaire,
Divisons B par r : soient b le quotient et r' le reste. Nous aurons de même
On est ainsi conduit à diviser r par r', et Ton s'aperçoit sans peine que les opérations à effectuer sont précisément celles que Ton doit faire pour chercher le plus grand commun diviseur des nombres entiers A et B. Lors même que ces nombres seraient premiers entre eux, on arrivera donc à un reste qui divisera exactement le reste précédent ou, si Ton veut, à un reste nul (Arithm., 113), c'est-à-dire que la
fraction continue qui représente le développement de ~ aura
un nombre limité de termes.
Les quotients fournis par l'opération du plus grand commun diviseur font connaître les quotients incomplets b, c, d, . . ., et les inverses de ces quotients sont les fractions intégrantes i i i b c a
Réciproquement, soit une fraction continue limitée. Pour démontrer qu'elle représente un nombre commensurable, il n'v a qu'à effectuer, en remontant, sur les fractions intégrantes et les quotients incomplets, les opérations indiquées, et l'on sera nécessairement conduit à une fraction à termes entiers.
Pour fixer les idées, nous prendrons un exemple numérique, et nous supposerons qu'on ait
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 123
Il viendra successivement
2 64 ioôi
153. II. Tout nombre incommensurable correspond à une fraction continue illimitée et, réciproquement, toute fraction
continue illimitée représente un nombre incommensurable.
Cette proposition est la conséquence évidente de la précédente (152).
154. III. Dans toute fraction continue, les valeurs des réduites sont alternativement plus petites et plus grandes que ta valeur de la fraction continue elle-même : les réduites de rang impair sont plus petites que la fraction continue, les réduites de rang pair sont plus grandes.
Considérons, en effet, la fraction continue
N-flH j
qui provient des égalités successives (151 ) N-= a-h- (j>i),
y^zb-^r^ (*>I),
En prenant a au lieu de N, on néglige la fraction - : on a
donc
En prenant c+rau lieu de N, on néglige la fraction -
dans l'expression exacte
On diminue donc le dénominateur de la fraction complémentaire, c'est-à-dire qu'on augmente cette fraction : on a donc
En prenant a h au lieu de N, on néglige la fraction —
dans l'expression exacte
On diminue donc le dénominateur de la fraction
c'est-à-dire qu'on augmente cette fraction; mais, en même temps, on augmente le dénominateur de la fraction
c'est-à-dire qu'on la diminue elle-même; on a donc a n <N.
En prenant
au lieu de N, on néglige - dans l'expression exacte
On augmente donc la fraction
On diminue, par suite, la fraction
et Ton augmente la fraction
On a donc
sLe même raisonnement se poursuivant indéfiniment, la proposition est démontrée.
On peut renoncer encore, en disant :
La valeur de toute fraction continue est, nécessairement, comprise entre les valeurs de deux réduites consécutives quelconques.
155. IV. Il en résulte que, dans toute fraction continue, chaque réduite est comprise entre les deux réduites qui la précèdent immédiatement.
En effet, lorsqu'on s'arrête à une certaine réduite, on peut admettre qu'elle représente une certaine fraction continue limitée qui est, jusque-là, composée des mêmes éléments que la fraction continue proposée.
Or toute fraction continue, quelle qu'elle soit, étant comprise entre deux réduites consécutives quelconques (154), la réduite considérée est alors elle-même comprise entre les deux réduites qui la précèdent immédiatement.
156. V. Dans toute fraction continue, les réduites de rang impair forment une série croissante, et les réduites de rang pair une série décroissante.
Considérons la réduite de rang impair ip -f-i . Elle est comprise (155) entre la réduite de rang ip et celle de rang ip— i .
D'ailleurs, les réduites de rang impair sont toutes plus petites que les réduites de rang pair (154). La réduite de rang ip h- i, moindre que la réduite de rang ip et comprise entre cette réduite et celle de rang ip — i, est donc supérieure à la réduite de rang ip — i .
Il en résulte que les réduites de rang impair vont en croissant.
De même, la réduite de rang pair 2p> comprise entre les réduites de rang ip — \ et 277 — 2, étant plus grande que la réduite de rang 2/? — 1, est inférieure à la réduite de rang ip — 2.
Il en résulte que les réduites de rang pair vont en décroissant.
Loi de formation des réduites.
