Soit la fraction continue quelconque

Nous allons calculer les quatre premières réduites et chercher si une loi de formation apparaît.

Première réduite :

a ou

ALGEBRE

Deuxième réduite :

ab -+- 1

Troisième réduite :

=za +

c abc -f- c -h a

bc-±- 1 ~~

Quatrième réduite :

cy/ -h i a£cr/ 4- cd ■+- ad -+- ab

bcd -h b-\-d bcd -\-d-j- b

En considérant la troisième et la quatrième réduite, on voit que chacune s'obtient en multipliant les deux termes de la réduite précédente par le quotient incomplet auquel on s'arrête, et en ajoutant terme à terme le résultat trouvé avec la réduite antéprécédente.

Il s'agit de montrer que cette loi est générale, c'est-à-dire que, si elle est vraie pour trois réduites consécutives quelconques, elle subsiste nécessairement pour la réduite suivante. Comme nous venons de la vérifier pour les trois premières réduites, elle sera alors complètement établie.

Soient donc les trois réduites consécutives

pour lesquelles la loi est supposée exister. En désignant par / le dernier quotient incomplet qui fait partie de la réduite ^7? nous aurons, par hypothèse,

R Q/ + P ( R =Ql -i-P,

R' ~~Q'/-t-P' I R' = Q'/-hP'.

g Pour passer maintenant à la réduite suivante ^j il suffit

d'observer qu'elle ne diffère de ^-, que par le changement de

De C. — Cours. III. 9

l3o ALGEBRE SUPÉRIEURE.

/en /h y en appelant m le quotient incomplet qui vient

après /. On a donc immédiatement

S __ QV/4" m) ~*~P (Q/-|-P)m-^Q

c'est-à-dire

La loi de formation indiquée plus haut est donc générale. D'après cette loi, les numérateurs et les dénominateurs des réduites forment deux suites indéfiniment croissantes.

158. Pour appliquer cette loi, il faut que les deux premières réduites aient été formées; mais on peut faire rentrer la deuxième réduite dans la règle énoncée, en introduisant en

tète la réduite fictive -• Combinée, d'après la règle, avec la

première réduite effective -> elle donne bien — - — pour

la valeur de la deuxième réduite.

On peut alors employer l'algorithme suivant pour faciliter le calcul des réduites :

ab -+- 1 b

abc 4-c + fll abcd -h cd -h ad -h ab ~\- 1 bc 4- i I bcd -h d -h b

Nous disposerons, sur une première ligne horizontale, les quotients incomplets successifs a, b,c, d, . . . ; au-dessous, en les reculant d'un rang, nous écrirons les deux premières réduites - et -> et nous n'aurons plus qu'à former successivement les autres réduites d'après la règle, en les écrivant audessous du quotient incomplet qui les termine.

Cette règle consiste (157) à multiplier les deux termes de la réduite précédente par le quotient incomplet auquel on est parvenu, et à ajouter terme à terme le résultat avec la réduite antéprécédente.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l3l

159. Il est indispensable de remarquer que les considérations précédentes permettent d'obtenir, au lieu de la valeur crime réduite de rang quelconque, une expression exacte de la valeur X de la fraction continue elle-même, quelle qu'elle soit.

En effet, en remplaçant / par /h > nous avons pu passer

<157) de la valeur de la réduite -~-, à celle de la réduite sui-

g vante ^-,- Il est évident que, si nous avions fait la même sub-

stitution en prenant au lieu de m le quotient complet t qui lui

g correspond, nous aurions obtenu, au lieu de la réduite •&> la

valeur X de la fraction continue elle-même, puisqu'on peut toujours l'arrêter à un quotient complet quelconque (151). Nous écrirons donc, par exemple,

Propriétés fondamentales des réduites.

160. I. La différence absolue de deux réduites consécutives est une fraction ayant pour numérateur l'unité et pour dénominateur le produit des dénominateurs des deux réduites.

Soient, en effet,

trois réduites consécutives quelconques, et / le dernier quotient incomplet qui fait partie de rr-,« Nous aurons (157)

et, par suite,

Q Q/-+-P Q PQ'-QP'

en même temps que

0 P QP'-PQ'

l32 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Les dénominateurs des deux différences répondent à l'énoncé. Quant aux numérateurs, ils sont égaux et de signes contraires.

Comme nous avons considéré trois réduites consécutives quelconques, on peut donc dire que le numérateur de la différence de deux réduites consécutives est constant en valeur absolue.

Pour trouver cette constante, il suffit de retrancher les deux premières réduites, par exemple, qui donnent

ab -\- 1 a i

Le théorème énoncé est ainsi démontré.

161. Si Ton veut tenir compte du signe de la différence des deux réduites, il suffit de se rappeler que les réduites de rang pair sont plus grandes que les réduites de rang impair (154). Par conséquent, la différence obtenue est positive ou négative, suivant que la première réduite est de rang pair ou de rang impair.

162. IL Toutes les réduites sont des fractions irréductibles.

Si Ton considère, en effet, les deux réduites consécutives (juelconques