Q' IV

et si Ton forme le numérateur de leur différence, on a (160,

RQ'— QR'=±i.

Celte égalité prouve qu'il ne peut exister aucun facteur commun autre que l'unité, soit entre R et R' ou entre Q et Q', soit môme entre R et Q ou entre R' et Q;.

Les réduites quelconques ~, et ~-, ayant leurs deux termes

premiers entre eux sont des fractions irréductibles (Arithm., 187,188).

Cette propriété remarquable explique et justifie le nom de réduites.

163. 111. Les réduites de rang impair et les réduites de rang pair convergent respectivement vers une limite fixe, qui est la

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 1 33

valeur de la fraction continue elle-même, et, de deux réduites consécutives, c'est la plus éloignée qui approche le plus de cette valeur.

En effet, d'après ce qui précède (156), les réduites de rang impair vont constamment en croissant, en restant inférieures à une réduite quelconque de rang pair : elles convergent donc vers une limite fixe. De même, les réduites de rang pair'vont constamment en décroissant, en restant supérieures à une réduite quelconque de rang impair : elles convergent donc aussi vers une limite fixe. Cette limite est, d'ailleurs, la même pour les deux suites; car la différence de deux réduites consécutives j~ et fTP étant égale à

QTÎ7'

va constamment en diminuant à mesure qu'on avance dans la fraction continue, et tend vers zéro autant qu'on veut s'il s* agit d'une fraction continue illimitée, puisque, d'après la loi de formation des réduites (157), les deux dénominateurs Q' et R' vont constamment en croissant, de manière à pouvoir dépasser toute quantité donnée.

Comme la valeur de la fraction continue reste comprise entre deux réduites consécutives quelconques (15k), la limite commune dont nous venons de parler n'est autre que la valeur môme de cette fraction continue.

En outre, si les deux réduites consécutives considérées sont

7T' el ÎT7* c'esl ^a P*us éloignée =r-, qui approche davantage de

la valeur X de la fraction continue.

Pour le prouver, nous n'avons qu'à comparer successivement, à ~ et à ^-,j la valeur X de la fraction continue, exprimée en fonction du quotient complet t qui correspond au

g dernier quotient incomplet m compris dans ^7 (159).

Pour fixer les idées, nous admettrons que ^ est une réduite de rang pair et qu'on a, par conséquent (154.),

l34 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Nous aurons donc (160, 16J )

R x R R*h-Q __ RQ'-QR' i

et

x Q Rt + Q Q l(RQ'-QR') t

Q'~~ R'i + Q' Q1 ~ O'iR^-hQ) "~ Q'iR'*-+-Q'/

Or la première différence est évidemment la plus faible des deux, puisque t est au moins égal à i et que Q' est nécessairement moindre que R' (157).

C'est la proposition qu'on vient d'établir qui a fait donner aux réduites le nom de fractions convergentes.

164. On peut la rendre sensible aux yeux en portant sur une même droite, à partir d'un point fixe 0, des longueurs 0*i, Oh, 04, ..., proportionnelles aux valeurs des réduites de rang impair : ces longueurs formeront une série croissante. Si l'on porte, à partir du môme point 0, des longueurs Op2, 0/>4, 0/?6, ..., proportionnelles aux valeurs des réduites de rang pair, elles formeront une série décroissante. Les deux séries obtenues occuperont deux régions distinctes et n'empiéteront pas l'une sur l'autre; mais elles convergeront indéfiniment l'une vers l'autre, de manière à n'avoir finalement qu'un point de démarcation tel que X. La longueur OX sera proportionnelle à la valeur de la fraction continue elle-même.

O /, /, i, IX pH Pt />.

165. Le calcul précédent permet d'indiquer deux limites simples de l'erreur commise, lorsqu'on remplace la fraction continue par l'une de ses réduites.

Nous avons trouvé (163)

Remarquons que le quotient complet t est compris, par hypothèse (163), entre les deux entiers consécutifs metm + i.

On aura donc, en valeur absolue, en désignant par ^-, la ré-

dmte qui suit j-t>

R ou w.

R' " R'(R'/»-hQ)

Cette inégalité est évidente a priori (154, 160), et elle entraîne la suivante :

On aura, d'autre part,

R' A> R'[R'(/rc->-j) + Q'] 0U R' A>R'(R'+S')'

Ainsi, lorsqu'on s'arrête à une certaine réduite, on peut dire que l'erreur commise est moindre que V unité divisée par le produit des dénominateurs de cette réduite et de la suivante ou que V unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite considérée, et que V erreur commise est plus grande que lJ unité divisée par le produit du dénominateur de la réduite par la somme de ce dénominateur et de celui de la réduite suivante.

166. 11 résulte de ce qu'on vient de dire que, lorsque la fraction continue est illimitée, on peut toujours former une réduite qui en diffère d'une quantité moindre qu'une quantité donnée s.

Il suffit, en effet, d'arriver à une réduite ^ telle, qu'on ait

ÎT'<£ ou R'>vTi-

Or, les dénominateurs des réduites formant une suite indéfiniment croissante, on atteindra toujours une réduite pour laquelle cette condition sera remplie.

167. IV. Un nombre K ne peut approcher davantage de la valeur X de la fraction continue qu'une réduite =r-,> sans être

compris entre cette réduite et la réduite précédente ^-, •

I 36 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

En effet, si K approche plus de X que ^r,? il approche a

fortiori ( J63) plus de X que ~; et, comme X tombe toujours

entre ces deux réduites consécutives (154.), il faut évidemment que K remplisse la môme condition.