AQ
-BQ ^ 1
BQ' R'Q'
Comme il s'agit de nombres entiers, la différence AQ' — BQ
est au moins égale à 1. L'inégalité précédente exige donc
qu'on ait
BQ>R'Q' ou B>R'.
Si nous renversons maintenant les quantités considérées, leurs inverses formeront, par ordre de grandeur décroissante,
la suite
11 en résulte
ou
AQ'BQ i QA ^ QR
Cette inégalité exige, à son tour, qu'on ait
QA > QR ou A > R.
La proposition qu'on vient de démontrer .prouve que les réduites successives expriment la valeur de la fraction continue aussi simplement que possible, eu égard au degré d'approximation obtenu.
169. Il est utile de s'arrêter un instant sur la propriété précédente, qui imprime aux réduites un caractère tout particulier.
On pourrait croire, au premier abord, que de plus grands dénominateurs répondent à une plus grande approximation. On voit qu'il n'en est rien. Et, en effet, si l'on prend, par
exemple, les trois fractions — ? >-> —> qui, ramenées au même 1 11 5 11 ^
dénominateur, forment la suite croissante ^> ^-r-> ~> on com-
prend qu'une quantité X puisse tomber entre — et — > en
étant beaucoup plus près de ^ que des deux autres fractions.
S'il en est ainsi, il sera impossible, avec des onzièmes d'unité
d'obtenir pour X une valeur aussi approchée que --•
Ainsi, en cherchant les valeurs approchées d'une quantité parmi des fractions de dénominateur donné, on peut, dans certains cas, avoir un degré d'approximation moins favorable qu'avec des fractions de dénominateur plus petit. Ce qui est très remarquable, c'est que cela ne se produit jamais pour une fraction continue, lorsque les valeurs approchées sont choisies parmi ses réduites.
L'emploi des fractions continues intervient, par la propriété sur laquelle nous venons d'insister, dans l'établissement des trains d'engrenages compliqués, comme ceux que nécessitent les combinaisons de la haute horlogerie ( * ).
170. VI. Lorsqu'on réduit en fraction continue deux valeurs d^un nombre N, l'une approchée par défaut, l'autre approchée par excès, tous les quotients incomplets communs aux deux résultats obtenus appartiennent nécessairement au développement de N en fraction continue.
Désignons par A et B les deux valeurs approchées de N par défaut et par excès, et admettons qu'on ait
A = a H B = aH
A et B ont la même partie entière a. Cette partie entière est donc aussi celle de N qui est compris entre A et B, et l'on peut poser à la fois
x est alors nécessairement compris entre y et y', et comme, d'après les deux développements supposés, ces deux quotients ont la même partie entière b, cette partie entière est aussi celle de x. On peut donc poser encore
u devant être compris à son tour entre z et z'9 qui ont la même partie entière c, a aussi cette partie entière, et l'on peut poser de nouveau
(') f'oir les feuilles aulographiées de mon Cours de Cinématique à l'École Centrale, 1 863- 1 866.
En continuant, on voit que la fraction continue représentant le développement de N commence nécessairement par a et
par les fractions intégrantes v> -> -.i communes aux deux
développements donnés. On a donc
EXEMPLES
1 71 . i° Remplacer la fraction -^—, par des fractions approchées, exprimées aussi simplement que possible, eu égard au degré d'approximation obtenu.
Il suffit de convertir la fraction donnée en fraction continue et d'en former ensuite les différentes réduites (168), d'après l'algorithme indiqué ( 158).
Comme le nombre donné ne contient pas do partie entière, on posera
Il faut chercher le plus grand commun diviseur des nombres 3024 et
i3q2 en réduisant d'abord le nombre fractionnaire -=-^ à sa plus simple
expression (Arithm., 489). On est ainsi conduit à — • L'opération du
plus grand commun diviseur donne alors
La fraction continue cherchée est donc (152)
Nous formerons les différentes réduites d'après le Tableau ci-après,
en remarquant que la première réduite est et que a est ici égal à
zéro :
La dernière réduite reproduit naturellement la fraction proposée ramenée à sa plus simple expression (162).
Si Ton remplace 5-— par la fraction -r> l'erreur commise est moindre
que . ,0 ou que s — > et elle est plus grande que -57-^ 7,-x- ou que
172. i° Trouver des fractions ordinaires exprimant le nombre t: (Géom., 228) aussi simplement que possible, eu égard au degré' d'approximation obtenu, sachant que 7r est compris entre les deux nombres décimaux
3,1415926 et 3,1415927.
On commencera par réduire ces deux nombres en fraction continue, jusqu'à ce que les fractions intégrantes successivement obtenues deviennent différentes (470).
On trouvera facilement, en passant de la forme décimale à la forme fractionnaire et en suivant la marche rappelée au numéro précédent,
On a donc nécessairement
On calculera les réduites correspondantes à l'aide du Tableau
aa
Ces réduites, en tenant compte du degré d'approximation qu'elles présentent, approcheront plus de w que toutes les fractions ayant des
aa termes respectivement plus simples. Ainsi — est la valeur de it, à i centième près, exprimée avec les termes les plus simples possibles. aa Remarquons que — est précisément la valeur de n trouvée par Ar-
chimède; — rr, celle qu'on a attribuée aux Hindous; — r> colle qui est
due à Adrien Métius.
Des fractions continues périodiques.
173. Lorsque, dans une fraction continue illimitée, et nous en avons défini la valeur au n° 163, un nombre limité de quotients se reproduisent indéfiniment dans un ordre constant, on dit que cette fraction continue est périodique. Les éléments qui se reproduisent constituent la période.
Lorsque la période commence dès le premier quotient incomplet, la fraction continue est périodique simple. Lorsque la première période ne commence pas dès le premier quotient et est précédée d'éléments qui ne se reproduisent pas, la fraction continue est périodique mixte.
Nous nous proposons ici de démontrer le beau théorème de Lagrànge sur les fractions continues périodiques [J.-L. Lagrange, Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés (*), Chap. VI].
Nous exposerons d'abord la proposition suivante qui, comme le dit Lagrange, était connue depuis longtemps, lorsqu'il en démontra la réciproque, beaucoup plus difficile à établir.
174. I. Toute fraction continue périodique peut être regardée comme V une des racines irrationnelles d'une équation du second degré à coefficients rationnels.
(») Tome VIII de l'édition complète de3 OEuvres de Lagrange, publiée par les soins de M. J.-A. Serret, sous les auspices de M. le Ministre de l'Instruction publique; Gauthier-Villars, mdccclxxix. — Cours d'Algèbre supérieure, par J.-A. Serret, 3» édition, t. 1; Gauthier-Villars, 1866.
■ 42 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Lorsque la fraction continue est périodique simple, les racines de l'équation du second degré correspondante sont de signes contraires. Lorsque la fraction continue est périodique mixte, les racines de V équation du second degré correspondante sont de même signe,
i° Soit la fraction périodique simple x, dont la période est formée des quotients incomplets a, b, c, d. On aura alors indéfiniment
Comme la fraction continue se poursuit ainsi sans jamais s'arrêter, il est clair qu'on peut écrire
Désignons par ^ et ^ les deux réduites qui correspondent
aux derniers quotients incomplets c et d dans la nouvelle expression de x. Nous aurons (159)
d'où l'on déduit immédiatement
R'^s — (R— Q')X — Qzzo.
Le terme tout connu étant négatif, les racines de cette équation du second degré sont de signes contraires (Alg. élém.. 244).
2° Soit la fraction continue périodique mixte x, dont la partie non périodique est formée des quotients incomplets a, b.
c9 dy et dont la période est formée des quotients incomplets e, /, g, h. On aura alors indéfiniment
or = a -h
rf
Si Ton désigne par y la valeur de la fraction continue périodique simple
comme la fraction continue x se poursuit sans jamais s'arrêter, il est clair qu'on peut écrire à la fois
(l) ^ = flH
CH
et
( 2 ) ^r-an
Si l'on représente alors par ■- et — les réduites qui correspondent aux quotients incomplets c et d dans la valeur (i)
de x et par ^^et ^ les réduites qui correspondent aux
quotients incomplets g et h dans la valeur (2) de ^ on a aussi à la fois (159)
Si Ton résout par rapport à y considéré comme fonction de x les deux équations comprises dans la relation (3), et si Ton égale entre eux les résultats obtenus, il vient évidemment
(4) y^-v-ïv^-R'
et l'on en déduit „ ( (q'R'-r'Q^xt-h (/-Q' -r/R'^-Q/' — Rq')x (n) / -w/R-rQ^o.
x est donc encore racine d'une équation du second degré à coefficients rationnels.
Le produit des racines de cette équation est égal {Alg. élém.,<2kZ)h ,fn yB-/-Q
et il nous reste à chercher le signe de cette expression.
Désignons par —, la réduite qui précède —, et par p, la réduite qui précède ~-r Nous aurons (157)
r—qd -{-/>, R -zQh -+- P,
r>=zq'd-+-p', R'=Q'A-f-P'.
En substituant ces valeurs dans l'expression (6), on peut lui donner les formes successives
q(Qh + V) — (qd + p)Q Qq(h - d) + qP - pQ
<*-Mîw)
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l45
Or h ne peut être égal à dy sans quoi la période commencerait un rang plus tôt, et la différence des deux nombres entiers h et d est au moins égale à i en valeur absolue. D'ail-
leurs, les rapports > ^> ô* 7y sonl ^es factions proprement dites d'après la loi de formation des réduites, et il en
P P P' Df
est de même, a fortiori, des différences 7> "~ > 7v — ^7 '
Les deux termes du second rapport écrit dans la dernière forme donnée à l'expression (6) ont donc nécessairement le même signe, et cette expression est positive. Les deux racines de l'équation (5) sont, par conséquent, de même signe {Alg. élém., SU).
Remarque. — Le raisonnement employé exige évidemment que la fraction périodique mixte admette plusieurs quotients avant la première période.
S'il n'y avait, avant cette période, qu' un seul quotient a, on
aurait
et la réduite -^ deviendrait la réduite fictive - (158). Par suite, le produit (6) des racines de l'équation (5) serait égal à
R — aQ
rapport qui peut être positif ou négatif; de sorte que, dans ce cas particulier, les deux racines de l'équation (5) peuvent être de même signe ou de signes contraires.
175. II. Théorème de Lagrange. — Toute racine irrationnelle cVune équation du second degré à coefficients rationnels se développe suivant une fraction continue périodique.
Lorsque lf équation du second degré considérée a ses racines de signes contraires, la fraction continue est périodique simple ou périodique mixte avec un seul quotient avant la période. Lorsque cette équation a ses racines de même signe, la fraction continue est périodique mixte.
Pour plus de clarté, nous diviserons la démonstration en plusieurs parties.
De C. — Cours. III. 10
l46 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
i ° Con vendons préliminaires.
Toute quantité irrationnelle, racine d'une équation du second degré à coefficients rationnels, est une irrationnelle du second degré.
On peut toujours ramener une équation du second degré à coefficients rationnels à avoir ses coefficients entiers et, en multipliant l'équation par 2 si cela est nécessaire, à avoir un nombre pair pour coefficient de la première puissance de l'inconnue.
Soit donc
une équation du second degré où les coefficients A, B, C sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, tels que la quantité B2— AC placée sous le radical de la valeur de x et supposée positive (Alg. élém., 237) ne soit pas un carré parfait. En effet, si B2 — AC représentait un carré parfait, x serait un nombre commensurable, et son développement en fraction continue serait limité (152).
On a, pour les racines de l'équation proposéei
— Bz+zi/B' — AC
En posant B* — • AC = F et en prenant le radical toujours positivement, on peut les écrire
On associera ensemble les signes supérieurs et les signes inférieurs. En effet, dans cette hypothèse, la première racine -B + ^/F 4l , . -+-B-+-\/F -B — \/P
* a4 In cn/>AnHû PQPinA T Ail Z .
sera-
et la seconde racine, t-* — ou
Si Ton veut ne tenir compte que des valeurs absolues des racines, on se contentera de prendre le dénominateur A dans la formule précédente avec le signe qui rend l'une ou l'autre racine positive.
Nous poserons maintenant
Nous représenterons, en outre, par D-t la valeur de C prise
AXGÈBRE SUPÉRIEURE. l^
avec un signe tel qu'on ait
