F = B»— AC = ES-+-D-,D
F est un entier positif dont la racine carrée est irrationnelle. Les nombres E, D, D t sont des nombres entiers, positifs ou négatifs.
2° Développement en fraction continue de l'irrationnelle positive du second degré
Nous déterminerons la racine du plus grand carré entier contenu dans F et, en divisant par D la somme formée par E et par cette racine, nous trouverons le plus grand entier a contenu dans x. Nous poserons donc, d'après la méthode
connue (151),
Le quotient complet xx sera donné par la relation
— a (Da— E)-h^F
Nous rendrons rationnel le dénominateur de l'expression en multipliant ses deux termes par (Da-E) -+-\/F. Elle deviendra évidemment
et, en posant
*» — F-(Da-E)5 '
E1 = Da-E. D|=F--(Da-E)1
l48 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
nous la ramènerons à la forme
toute pareille à celle de x.
E, est un nombre entier, positif ou négatif; Dt est un nombre rationnel, positif ou négatif.
On voit, par ce qui précède, qu'on peut opérer sur xï pour trouver le quotient complet suivant xly comme on a opéré sur x pour trouver xx\ et ainsi de suite, indéfiniment.
On écrira donc
1) Xi
Nous obtiendrons ainsi les quotients incomplets a, al9 au ..., a*, . . . de la fraction continue illimitée que nous cherchons, et nous pourrons calculer les réduites correspondantes.
Nous remarquerons que la quantité radicale y/F reste la môme dans x et dans tous les quotients complets xu xt,
X^y . . . , Xny ....
3° Loi de formation des quotients complets. — Le nombre rationnel Da est toujours entier.
On a (2°)
«^«-1 — tx — an-\ "T- — '
un-l Xn
On en déduit, comme précédemment ( 2°),
T)„, (!),, g„,l - E,., -4- y/F\ 71 ~ F-ÔV-^^-E,,.,)» "'
ALGEBRE SUPÉRIEURE. ify
mais, d'après nos notations, on a d'autre part (20)
xn —
Un
En comparant les deux expressions de xn> on a donc ncce& sairemenl
(3) E„ = Drt-|afl-, — Efl,
et
On en déduit, comme cela doit être (i° et 20),
(5) F^E-t-hD^D*.
Si Ton admet que E0 et D0 représentent EetD, la formule (5) subsiste, quel que soit n, puisque Ton retrouve alors la formule (2) [i°]
F = E*-hD tD.
Éliminons donc F entre les formules (4) et (5), en remplaçant, dans la formule (5), n par n — 1. Nous aurons ainsi
f=e;1h-dii-1dji-i,
et, en transportant cette valeur dans l'équation (4), en simplifiant et en divisant par D„,, il viendra
En remplaçant dans cette équation DA i par sa valeur déduite de l'équation (3) et en simplifiant, nous aurons enfin
(6) D„ = Dn, -h ( E*-, - E„ ) *„, .
Les formules (3) et (6), qui font connaître E* etD„ en fonction des quantités précédemment calculées, contiennent la loi de formation des quotients complets.
Nous avons trouvé (20) pourE, un nombre entier, positif ou négatif, et pour ï)t un nombre rationnel, positif ou négatif. Nous trouverons donc pour Ei, E3, . . ., E„, . . . des nombres entiers, positifs ou négatifs, tandis que D„ Ds, . . ., D„, . . . se présenteront sous la forme de nombres rationnels, positifs ou
l5o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
négatifs. Il reste à démontrer que ces nombres rationnels sont entiers.
Or la formule (6) ou celle qui la précède prouve immédiatement que D„ sera entier si D„i et Dn-i le sont eux-mêmes. Il suffit donc, en supposant n = i, que D, et D0 ou D soient entiers, pour pouvoir affirmer qu'il en sera de môme successivement de Dt, Dj, D8, . . ., Dn, .... Nos conventions préliminaires (i°) admettant expressément que D! et D sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, nous pouvons dire, d'une manière générale, que D„ est un nombre entier, positif ou négatif, comme Ea.
4° A partir d'une certaine valeur limite donnée an, les nombres entiers En et Dn deviennent et restent constamment positifs.
Pour établir ce fait, nous considérerons les réduites successives de x en les représentant, pour plus d'homogénéité dans les notations, par
Po Pi Pj Pflt-1 P/t
Qo' Qi' Q,' "' U.-i' Q«'
réduite fictive - (158); ~ est la (n -h i)ièmo réduite, et l'on
Si l'on suppose P0=i et Q0 = o, la première réduite est la
réduite,
ou bien (20)
E»-f-y/F E + s/F ^ n D„ ^ "*" n~l = (PnE^P.-tD^ + P.y/F
Vin fv »~ Vi*-1
Chassons les dénominateurs de cette expression et égalons respectivement les parties rationnelles et les parties irrationnelles des deux membres {Alg. élém., 264). Nous aurons
E(Q„En+Q,-1Dn) + Q/lF = D(P„E,-f-Prt 1D„), EQ.H-Q«E,, + Qjl-1Di, = PJID.
En ordonnant par rapport à En et à D„, on obtient les deux
équations du premier degré
(7) {T>Pm-EQm)Em-h(DP*-.l-'EQm-l)1in = QnF9
(8) Q^+Q^D^DP^-EQ».
Si Ton élimine D„ entre ces deux équations, le coefficient de E„ se réduit à
V(PnQn-l-QnPn-l),
c'est-à-dire à ±D, suivant que n est pair ou impair (160). On peut donc mettre ce coefficient sous la forme D(— i)n ou D
On trouve ainsi
(9) E„=(-^[Q„1Q„F-(DP,1-EQrt 1)(DP/1-EQ«)].
En éliminant En entre les mêmes équations (7) et (8), et en faisant usage de la même relation
P»Q„-i-Q«P«-i = ±i, on trouve également
(10) D^t^[(DP,-EQ/i)î--QJF].
Considérons d'abord la valeur de Dn.
On peut la mettre sous la forme
D« = T^ (DP*- EQ„- Q„^F) (DPn- EQ„+ Qrt^/F).
En ajoutant et en retranchant alors 2 Q„ y/F dans le dernier facteur du second membre; en mettant ensuite Q* en facteur commun, ce qui conduit à diviser respectivement par Q„ les deux facteurs entre parenthèses; en divisant enfin le premier de ces facteurs par D, on a évidemment
La formule (11) va nous permettre de montrer que T)n devient et reste positif à partir d'une certaine valeur de n.
E-h\/F En effet, — ^— représente &(i°). Le premier facteur
entre crochets a donc le signe de (-— 0* : il est positif si n
l52 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
est pair, négatif si n est impair, puisque jA est la réduite
correspondante (15i). Son produit par (— i)nQJ est donc
p toujours positif. D'ailleurs la différence entre y-eta: peut
devenir aussi petite qu'on veut pour n assez grand (186). Il en résulte que, quel que soit le signe de J), la valeur du second facteur entre crochets tend autant qu'on veut vers 2 y/F, c'est-à-dire qu'elle devient positive pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite. Il en est donc de même de D„, à partir de cette limite.
Considérons à son tour la valeur de E„.
Prenons l'équation (8), qu'on peut écrire
Q»-iDll = DP,l-QllE-QilEJI ou
Q„-tD„
Qn
On a d'ailleurs (20)
ou D„a-„ = v/f -*-E„.
En divisant membre à membre les deux dernières équations, on trouve
Qn-,(Dfe-E)-E"
La formule (12) va nous permettre de montrer que En devient et reste positif, à partir d'une certaine valeur de n. En effet, on a
^E+^ d,où D^-E^ry/F.
Par conséquent, puisque ~* tend vers x autant qu'on veut
pour n assez grand, le second membre de l'équation (12) devient, à partir d'une certaine valeur de n9 aussi près qu'on veut de
\Zf-E»,
ALGEBRE SUPÉRIEURE. I 53
Il est. donc impossible que En9 à partir de cette même limite, soit négatif; car le second membre de l'équation (12) serait alors plus grand que 1, tandis que son premier membre est manifestement inférieur à 1. (On a Q»-i < Q« d'après la
loi de formation des réduites, et xn = an-\ est supérieur
à l'unité.) Ainsi, pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite, E„ est et demeure positif.
5° Toute racine irrationnelle d'une équation du second degré à coefficients rationnels se développe suivant une fraction continue périodique.
Nous avons établi (20, 3°, 4°) que E„ et J)„ sont entiers et que, pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite, ils sont positifs.
Si nous considérons le développement de la fraction continue illimitée à partir de cette limite, la formule (5)
prouve qu'on a alors constamment
La formule (3)
E„ = D„i a„j — Ert-i,
écrite en remplaçant n par n -+- 1, donne alors évidemment
«^«-E^ + En ou Vnan<2\/F;
et il en résulte constamment
Dn < 2 y/F et an < 2 \/F.
Les nombres entiers E„, D„, an sont donc limités; et les quotients complets œny comme les quotients incomplets any ne peuvent avoir qu'un nombre fini de valeurs différentes.
On a
E„-hy/F
On peut faire varier Dn, entier, depuis 1 jusqu'au plus grand entier contenu dans 2 \Jf, en l'associant avec une valeur de E„, entier, variant depuis 1 jusqu'au plus grand en-
tier contenu dans y/F. Le nombre des valeurs de xn est donc au maximum 2 y/F. \J¥ ou 2F.
Il est finalement démontré qu'en poursuivant la conversion de
en fraction continue illimitée, on retrouvera nécessairement, après un nombre d'opérations plus ou moins grand, mais qui ne peut excéder 2F, un quotient complet déjà obtenu. A partir de là, il est clair que la suite des quotients complets ou incomplets redeviendra identique à celle qu'on avait trouvée après la première apparition de ce quotient, et qu'elle se reproduira indéfiniment. La fraction continue illimitée égale à x sera donc périodique simple ou périodique mixte, suivant qu'on retrouvera ou non le premier quotient (173).
6° Lorsque V équation du second degré considérée a ses racines de signes contraires, la fraction continue correspondante est périodique simple ou périodique mixte avec un seul quotient avant la période. Lorsque cette équation a ses racines de même signe, la fraction continue correspondante est périodique mixte.
Ce corollaire est la conséquence nécessaire du théorème I (174, i°, 20 et Remarque).
Applications.
176. i° On donne l'équation du second degré 23 x1 — 49-^ ■+■ *3 = o, et Von demande de convertir ses racines en fractions continues.
L'équation donnée a évidemment ses racines réelles et de même signe. Nous devons donc obtenir comme développements des fractions continues périodiques mixtes (175).
Nous appliquerons d'abord les formules générales trouvées ( 175). Préparons donc l'équation en la multipliant par 2 (175, i°). Elle devient
d'où
La racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 285 est 16.
Les deux racines x' et x" ont pour produit l'unité. L'une est plus grande que i, l'autre est plus petite. Calculons la plus grande.
Puisque x'.z?= i, nous aurons ensuite x"= — ,.
Les formules générales à employer sont (475, 3°)
(6) D„= Dn-i + (En-i— En)an-i.
On a d'ailleurs (175, i°)
AC^-D-jD,
D n'étant autre chose que A pris avec le signe adopté, et il en résulte
a0 n'est autre chose que «, partie entière de x*.
Cela posé, cherchons d'abord cette partie entière en remplaçant, dans la valeur de x\ /285 par 16. Nous obtiendrons a = \.
Nous aurons ensuite, en faisant n = i dans les formules (3) et (6), et d'après (175, 2°),
p o ne * * Ei -h v/F — 3 -f- y/Jï55 E, = — 3, D4=6, dou *!== -i-^ = g-i
La partie entière de xt est, par conséquent, at = a. De môme, pour n = 2,
Ej= i5, Dj = io, xt =
Par suite, la partie entière dext est a, = 3. Pour « = 3, on a
et la partie entière de .r3 est az = 5. Enfin, pour n = 4,
E4=i5 = E„ D4= io = Dt.
11 en résulte
La fraction continue cherchée est donc une fraction périodique mixte ayant pour quotients non répétés 1 et 2 et, pour quotients répétés, 3 et 5.
1 56 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Nous écrirons donc
