Troisième procédé fondé sur une remarque particulière

Cette remarque, très simple, est la suivante : si, dans l'équation

(1) ax -h by -- c,

le coefficient b9 par exemple, est égal à i, on a immédiatement une solution entière en posant x=io etj = c. Nous allons ramener le cas général à ce cas particulier.

Admettons que a soit le plus petit coefficient, et tirons de l'équation (i)

c — by

Xt=z — .

Divisons c et b par a, en prenant les quotients par défaut

ou par excès, de manière à avoir des restes plus petits que -

en valeur absolue (Ariehm.t 122) : nous diminuerons la longueur des calculs, en appliquant toujours cette même simplification.

Si Ton trouve

c = aQ±R, bz=aqztr, la valeur de x deviendra

^ = Q — qy h — —

Par suite, en désignant par t une nouvelle inconnue, la question est ramenée à trouver une solution entière de l'équation

c'est-à-dire

(2) at±ry = ±R.

Dans cette équation, les coefficients des inconnues sont le plus petit coefficient de l'équation primitive et le reste obtenu en divisant le plus grand coefficient de l'équation primitive par le plus petit. En opérant sur l'équation (2) comme on vient de le faire sur l'équation (1), on verra se poursuivre la même loi.

On en conclut immédiatement que les équations auxi-

lti8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

liaires successivement obtenues ont toujours pour coefficients des inconnues deux des restes consécutifs qui sont fournis par la recherche du plus grand commun diviseur des nombres a et b.

Comme ces nombres a et b sont, par hypothèse, premiers entre eux, on parviendra donc toujours à un dernier reste égal à i (Arithm., 113), c'est-à-dire à une dernière équation

de la forme

mu -f- v=p.

Cette dernière équation aura pour solution entière u r= o et e=/>; et, en remontant de proche en proche, on en déduira une solution entière de l'équation proposée.