Application. — Reprenons l'équation

déjà traitée par le premier procédé (185). On en tire

, . 8i5-i-io4y 32--27K

en posant

(3) =r^--=c ou 27/ 4- 77*= 32.

L'équation (3) donne

(4) y=**=12! ^-u + î^-'^i-it + t,

en posant

(5) i-=i*' ou kt — 2it'— — 5.

L'équation (5) donne à son tour

en posant

(7) HT"-'* ou l'-4^ = -i.

Nous voilà parvenu à une dernière équation où t' a pour

coefficient l'unité. On peut donc prendre, pour solution entière de cette équation, ** = o et *'=— i. Les équations (6), (4) et (2) conduisent alors successivement aux solutions entières

Les solutions entières de l'équation (1) sont donc renfermées, comme précédemment, dans les formules

y=z 24-1-770, x = 43 4- io4#.

190. Remarque. — Lorsqu'on rencontre, dans les divisions successives exigées par le deuxième ou par le troisième procédé, un facteur qui se présente au dividende sans entrer dans le diviseur, il faut avoir soin de le mettre en évidence de manière à simplifier les calculs subséquents.

Si Ton arrivait, par exemple, à une fraction, telle que

'• — -> — 9 on mettrait en évidence le facteur 5 qui entre au di-

vidende sans entrer dans le diviseur, en écrivant — - — - — >

1 -1- it et Ton poserait seulement — --— = t\ Le résultat final ne

serait pas modifié (Arithm., 155).

Résolution de l'équation ax-+- by = c en nombres entiers et positifs.

191. Lorsque a et b sont premiers entre eux, l'équation ax-h by — c admet une infinité de solutions entières (182). Nous voulons séparer, parmi ces solutions entières, celles qui sont positives.

Si Ton met en évidence les signes des coefficients a, b, c, on a à considérer les quatre formes suivantes :

a x -h by = c, ax — 6j-c, ax -+- by — — c, ax — by = — c.

La troisième forme exclut évidemment l'existence de solutions positives, et la quatrième forme rentre dans la deuxième; car peu importe que ce soit le coefficient b ou le

coefficient a qui ait le signe moins. Nous garderons donc seulement les deux équations

ax ~\- by — c, ax — by = c.