Commençons par la deuxième, et soit # = a, y = fiy

une solution entière quelconque de cette équation. Toutes

ses solutions entières seront renfermées dans les formules

x=z a 4- b9y y — fi-t-aO.

Pour que les solutions soient à la fois entières et positives, il suffit de donner à 0 les valeurs entières qui satisfont aux

inégalités

ou telles qu'on ait

La seule condition est donc de donner à 0 les valeurs enoc tières qui surpassent la plus grande des deux limites — j>

— - > et Ton voit que l'équation ax — by — c admet une infinité de solutions entières et positives.

193. Passons à l'équation ax -+- by = c. Les formules qui donnent ses solutions entières sont

x — a — bQ, y = p + a9.

On ne doit donc, dans ce cas, donner à B que les valeurs entières qui satisfont aux inégalités

a — bô>o, (3-+-a0>o,

ou telles qu'on ait

L'équation de condition

aa. 4- 6(3 = c

*<;, e>-fi.

permet de remplacer y par — ° h — r • On peut donc prendre

ALGÈBBX SUPÉRIEURE. I 7 I

pour limites

9<-Ê + 4 et 9>-fi.

a ab a

Par conséquent, les solutions entières et positives de l'équation ax -h by^=c sont données par les valeurs entières

de 9 comprises entre les nombres — - et — - h — T • 1 a a ab

On voit que V équation ax-\-by=zc peut n'admettre aucune solution entière et positive et que, dans tous les cas, elle n'en admet qu'un nombre limité.

Le nombre de ces solutions entières et positives est d'ail-

leurs le quotient entier qui correspond à -r> différence des

deux limites trouvées pour 0, ou ce quotient augmenté d'une unité.

Ainsi, si les deux limites étaient 29 § et 38 {, leur différence serait 9 \, et il y a neuf nombres entiers entre les deux limites. Si les deux limites étaient 29 £ et 39 \t leur différence serait 9 |, et il y a dix nombres entiers entre les deux limites.

Applications.

194. i° Indiquer un nombre entier et positif tel, qu'en le divisant par 7, on trouve pour reste 5, et qu'en le divisant par 12, on trouve pour reste 1 1 .

Si Ton désigne par x et par y les deux nombres entiers et positifs, quotients du nombre cherché par 7 et par 12, ce nombre admettra les deux formes

7 j; h- 5 et 12^-hii.

On doit donc satisfaire, en nombres entiers et positifs, à l'équation

7x4-5=12^-4-11 ou 7-z — iaj = 6.

On anra une infinité de solutions (192). On déduit de l'équation posée

Il suffit, pour trouver une valeur de y qui rende entière l'expression 2 r-f- 1

■ , de remplacer y par Tune des valeurs o, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (181,

187). Pour y = 3, on a 1L±I = , et x = 6<

11 en résulte les formules générales

On doit avoir