i-i2Ô>o et
c'est-à-diro
6 > - I et
Toutes les valeurs entières et positives de 0 conviendront donc à partir de o.
On a, pour le nombre cherché, les deux expressions
Ces deux expressions sont égales, comme on devait s'y attendre et comme il est nécessaire qu'elles le soient si Ton a bien opéré. Tous les nombres demandés sont, en résumé, donnés par la formule
Pour 6 = 1, par exemple, on a bien
i3i = 7Xi8-t-5 = i2xio-f-u.
195. 2° On demande quel est le nombre de pages d'un livre, sachant qu'en les comptant trois à trois, il ne reste rien ; qu'en les comptant sept à sept, il en reste 1 ; qu'en les comptant dix à dix, il en reste 6.
Soit x le nombre cherché. D'après l'énoncé, il doit évidemment rendre
les fractions
égales à des nombres entiers j, z, u. On aura donc
c'est-à-dire
s-* ~T=Z> -iïT=u'
ou
3jr = 1 -+- yz — ■■ 6 -h 1011.
U faut donc finalement résoudre en nombres entiers et positifs l'équation
73 — iou = 5.
On aura une infinité de solutions (192).
De l'équation posée, on déduit (190)
__ 5-4-TOf* __ 5(l-f-2tt)
En posant = /, on a la nouvelle équation
d'où
On doit donner à t les valeurs o et 1 (187). Pour / =1, on a u = 3.
Les formules générales seront donc
Il en résulte 1 -+- 2 6 > o et 3 ■+- 76 > o, c'est-à-dire
0>I et e>--.
Toutes les valeurs entières et positives de 0 conviennent donc à partir de o.
Si l'on revient maintenant à x = 3/ = 6 ■+- io«, on a
Si l'énoncé indiquait, en outre, que le nombre des pages du livro est compris, par exemple, entre 4°° ©t 5oo, la solution deviendrait unique et déterminée et répondrait évidemment à 0 = 6 : olle serait donc
196. 3° Un propriétaire a dépensé iooofr pour payer le travail de ses vendanges à une troupe d 'hommes et de femmes : chaque homme a reçu igfr, chaque femme, nfr. Combien y avait-il d'hommes et combien de femmes ?
Soient x et y les deux nombres cherchés. Il faut résoudre en nombres entiers et positifs l'équation
igx-h ny = 1000.
Le nombre des solutions sera limité (193).
En tirant do l'équation
1000 — io.r r = —
et, en faisant varier x entier depuis o jusqu'à 10, on est certain d'obte-
1^4 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.
nir une valeur entière de y (181, 187). Pour x = 4, on trouver = 8J. Les formules générales à appliquer sont donc
jc=4 — 116 et r=84-*-i90, et l'on doit avoir 4 — 1 1 6 > o, 84 -+- 19Ô > o, c'est-à-dire
6>— ^ et 0<1.
Le quotient entier de 84 par 19 étant 4, 6 ne pourra admettre que les cinq valeurs
Les solutions du problème sont donc
Résolution en nombres entiers de m équations contenant m + 1
inconnues.
197. Nous considérerons d'abord spécialement le cas de deux équations à trois inconnues. Soient ces deux équations
(1) ax -h by -hcz =d>
Ces équations sont supposées ramenées à leur plus simple expression, c'est-à-dire que les coefficients a, b, c, d sont premiers entre eux dans leur ensemble, ainsi que les coefficients a\ br, c'y df.
Pour que le problème soit possible, chaque équation doit admettre séparément des solutions entières. Il faut donc évidemment (181) que les coefficients ay b, c soient aussi premiers entre eux dans leur ensemble, ainsi que les coefficients a', b\ c'.
Éliminons z entre les équations (1) et (2). Il vient
(3) (ac'-ca')x+(bc'—cl/)y=dct-cdt,
et l'on peut remplacer le système proposé par le système des équations (1) et (3).
Cherchons les solutions entières de l'équation (3); d'après
ALGÈBRE SUPÉRIEURE* I «j5
ce qui précède, si elle en admet, elles seront de la forme (182)
bc*— cbr „
Q ac'—ca'
$ est le plus grand commun diviseur des trois coefficients ac'—ca1 } bc' — cb', dc'—cd'; car, avant de traiter l'équation (3), il faut rendre ses coefficients premiers entre eux dans leur ensemble. 9 est un entier indéterminé, positif ou négatif; a et (3 représentent une première solution.
Pour que l'équation (3) admette des solutions entières, il faut d'ailleurs que les quotients qui multiplient 0 dans les formules précédentes soient premiers entre eux (181).
Si celte condition est remplie, on substituera les valeurs trouvées pour x et pour/ dans l'équation (i), et elle ne renfermera plus que les deux inconnues z et 0, qu'on pourra, si toute/ois l'équation transformée comporte des solutions entières y exprimer en fonction d'un nouvel entier indéterminé &. On pourra donc obtenir x9 y, zy en fonction de 9' seulement.
Si les équations données doivent être résolues en nombres entiers et positifs, il restera à discuter les valeurs obtenues et à chercher les limites de 9' (192, 193).
198. Remarque. — Si les coefficients c et c1 de l'inconnue z qu'on élimine d'abord sont premiers entre eux, la seule condition de possibilité du problème est que l'équation (3) admette des solutions entières.
En effet, reprenons, dans cette hypothèse, les valeurs
bc'—cb' n
ac' — ca' ~
et substituons-les dans l'équation (i). Il vient, en simplifiant, (4) c{ab' — ba')9 + cdz = d(d— ax— 6(3).
D'autre part, puisque l'équation (3) admet la solution
x = a, y = (3, on a
(ac' — ca')«+-(fo' — c&')(3 = tfc' — crf', d'où Ton tire
c(d'— a'* — b'$) = c'(d—aoL — 6(3).
Il en résulte que c, supposé premier avec c', doit diviser exactement */ — a a — 6 (3.
Appelons «7 le quotient de cette division et reportons-nous à Téquation (4). En divisant ses deux membres par c, elle deviendra
(ab'— ba')6-+-$z=zdq.
Dans le cas où c est premier avec c', on obtient donc immédiatement une solution entière de l'équation (4) ou de l'équation (r) transformée en posant 0 =z o et z = q.
La remarque précédente prouve en même temps qu'on a intérêt à éliminer d'abord l'inconnue z dont les coefficients sont supposés premiers entre eux, puisque la résolution ultérieure de l'équation en z et en 0 est alors immédiate.
Nous allons préciser par un exemple la marche que nous venons d'indiquer.
