Application. — Résoudre le système
(2) 6x -T-gy + 8z — io4?
en nombres entiers.
Dans l'équation (1) les trois coefficients 7, 7, 77 sont divisibles par 7. En effectuant celte division, il vient
x doit donc être un multiple de 7, et Ton peut poser
x = jx'.
Dans l'équation (2), les trois coefficients 6, 8, io4, sont divisibles par 2. En effectuant cette division, il vient
y doit donc être un multiple de 2, et Ton peut poser
Le système proposé est ainsi ramené au suivant :
(3) 3x'-h2Y'-hS =",
(4) 2ia7'+97'4-4- = 52,
Les coefficients de y étant premiers entre eux, c'est cette inconnue que nous éliminerons de préférence (198). Nous trouverons ainsi l'équation
dont on obtient une solution entière immédiate, en faisant
a?'=o et z = — 5.
Les solutions entières de l'équation (5) sont donc renfermées dans les formules
En substituant ces valeurs dans l'équation (3), il vient
2/'-hi80 = i6 ou
dont on obtient encore une solution entière immédiate en
faisant
y = S et 0 = o.
Les solutions entières de l'équation (6) sont donc à leur tour renfermées dans les formules
On a donc enfin, comme formules générales,
où 0' est un entier indéterminé, positif, négatif ou nul*
Si Ton voulait n'admettre pour x> y, z que des valeurs entières et positives, il faudrait qu'on eût
Ds C. — Cours. III. 12
I*j8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
On déduirait des deux dernières inégalités
0'<- et 9>\i 9 3
ce qui montre, puisque 0' doit être d'ailleurs plus grand que o, que les équations proposées ne peuvent admettre aucune solution entière et positive.
200. Cas de m équations à m h- 1 inconnues. — La marche que nous venons d'indiquer pour deux équations à trois inconnues (197) est générale.
Soit m équations à m -+■ 1 inconnues x} y, z, u, e, . . . .
Au système donné désigné par (A), on substituera, par des éliminations successives, un système équivalent désigné par (B). La dernière équation obtenue, que nous désignerons par (Bt), contiendra seulement deux inconnues, x et y; IV vant-dernière équation (B,) contiendra ces mêmes inconnues, avec une troisième z; l'équation précédente (B3) contiendra les inconnues x,y, z, avec une quatrième u; et ainsi de suite, en remontant jusqu'à la première équation (B/rt) qui contiendra les 77i -h 1 inconnues x> y, zy uyvy
Cela posé, si l'équation (B,) admet des solutions entières, on exprimera x et y en fonction d'une indéterminée 0. En substituant les valeurs trouvées dans l'équation (B,), on a une équation à deux inconnues z et 0. Si elle admet à son tour des solutions entières, on exprimera z et 0 en fonction d'une nouvelle indéterminée 0', de sorte que xy y, z pourront être exprimées en fonctions de 0\ En portant les valeurs trouvées dans l'équation (B,), on a encore une équation à deux inconnues u et 0'. Si elle admet, elle aussi, des solutions entières, on exprimera u et 0' en fonction d'une nouvelle indéterminée 0', de sorte que x} yy z, u pourront être exprimées en fonction de 0*. On continuera de la même manière, jusqu'à ce qu'on ait pu exprimer les m -h 1 inconnues en fonction d'une seule et dernière indéterminée, si cela est possible.
La condition de ne conserver, parmi les solutions entières, que celles qui sont positives, imposera, pour la dernière indéterminée, la recherche de limites plus ou moins faciles à assigner.
Résolution en nombres entiers d'une équation contenant pins de deux inconnues.
201. Nous considérerons d'abord spécialement le cas d'une équation à trois inconnues.
Soit cette équation
(1) ax -\-by.-\- cz = d.
Les coefficients a, b, c, d sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, qui doivent être rendus préalablement premiers entre eux dans leur ensemble.
Les coefficients a, b, c doivent être alors premiers entre eux dans leur ensemble; car, s'ils admettaient un facteur commun autre que l'unité, toute solution entière rendrait le premier membre de l'équation multiple de ce fadeur, sans que la même condition fût remplie par le second membre. Il n'y aurait donc pas de solutions entières.
Mais deux quelconques des coefficients a, b, c peuvent être premiers entre eux ou admettre un facteur commun n'appartenant pas au troisième coefficient.
Supposons, en premier lieu, que a et b, par exemple, soient premiers entre eux. En mettant l'équation (i) sous la forme
(2) ax -+- by=zd — cz
et en attribuant à z une valeur entière quelconque, on pourra trouver pour x et y une infinité de solutions entières (181, 182).
Si, au contraire, a et b ont un plus grand commun diviseur d, on pourra poser a = da', b = àb'y et l'équation (2) deviendra
c et d étant premiers entre eux, puisque a, b, c ne présentent aucun facteur premier commun (Arithm., 155), on pourra poser
9 étant un entier quelconque. On aura alors
(4) cz + $9=zd,
l8û ALGEBRE SUPÉRIEURE.
et cette équation pourra être vérifiée par une infinité de valeurs entières de z et de 0. Pour chaque valeur de 0, l'équation (3) admettra à son tour une infinité de solutions entières pour x et /.
On voit que, dans les conditions indiquées, on peut toujours trouver facilement une solution entière de l'équation (i).
202. Il s'agit maintenant de trouver les formules générales renfermant toutes les solutions entières de l'équation
(i) ax-\- bj -\- cz = d.
Soient .r = a, y= (3, z=zy une première solution entière. Nous aurons l'équation de condition
(2) aa -f- 6|3 -f-cy = d.
II est clair que les valeurs suivantes :
où 0 est un entier indéterminé, satisfont toujours à l'équation (1), comme on peut d'ailleurs facilement le vérifier; car, en les substituant dans cette équation, on retombe sur l'identité (2). Mais il est clair aussi que ces formules ne donnent pas toutes les solutions cherchées, puisque, d'après ce qui précède (201), z peut recevoir une infinité de valeurs entières convenables, et non pas la seule valeur y.
Nous allons démontrer que, si l'on représente par 0' et 9 deux nouvelles indéterminées analogues à 0, les formules générales renfermant toutes les solutions entières de l'équation (1) sont
Ix — oL — bO-t-cQ', y^p + ae + ce», z=y —aW-be".
Ces valeurs conviennent toujours; car, en les substituant dans l'équation (1), on retrouve encore l'équation de condition (2).
Il reste à établir qu'elles ne laissent échapper aucune solution entière.
Soient, en effet, x-=ol', y=fir, z = y', l'une quelconque des
ALGEBRE SUPÉRIEURE. l8l
solutions entières de l'équation (i). Il faut prouver qu'on peut toujours assigner des valeurs entières des indéterminées 0, 0', 0*, telles qu'on ait précisément
i a' — oi— bO -+-C0', . i bQ—cQ' — OL — *',
(4) p = $ + aQ+cP, ou 1 — a0--c0*:=(3— P', ( y'-y — aff—bP, ( a9'+b9*=z y — /.
On voit facilement que les trois équations (4) se réduisent à deux; car, si on les ajoute, après les avoir multipliées respectivement par les coefficients a, b, c, on a
ce qui est une identité, en vertu de l'équation de condition (2) et de l'équation aa! -\- 6p' -h cy'=:d, qui résulte de l'hypothèse faite.
Nous prendrons donc seulement les deux premières équations du système (4)»
\ bB—cQ'=:<X—OLfy
j — aA — cA^p — P',
et nous allons montrer qu'elles seront satisfaites simultanément par les mêmes valeurs entières des indéterminées 0, 0', 0'.
Chacune des équations (6) admet séparément des solutions entières (181); car, d'après l'identité (5), le plus grand commun diviseur de b et de c, si ces coefficients ne sont pas premiers entre eux, doit diviser exactement a.— a!; et le plus grand commun diviseur de a et de c, si ces coefficients ne sont pas premiers entre eux, doit diviser exactement
Admettons que le plus grand commun diviseur de b et de c soit dt et que 0j et 9\ représentent une solution entière de la première équation (6). Admettons de même que le plus grand commun diviseur de a et de c soit ô, et que 0, et 0*, représentent une solution entière de la seconde équation (6).
Les solutions entières des équations (6) considérées séparément seront alors renfermées respectivement dans les formules générales suivantes, où tx et tt désignent deux nou-
]82 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
veaux entiers indéterminés (182)
(7) / cl <
Et il est évident qu'il suffit qu'on puisse trouver des valeurs entières de tx et de tt rendant identiques les deux valeurs entières de 0 fournies par les équations (7) pour que les équations (6) soient satisfaites simultanément par les mêmes valeurs entières des indéterminées 0, 9', 9". Nous poserons donc
ou
(8) iL^-fL,,^-^
Or, en substituant dans chaque équation (6) la solution
entière supposée, 9t et 9\ pour Tune, 0, et 0", pour l'autre, il
vient
En ajoutant ces deux équations, après les avoir multipliées respectivement par les coefficients a et b, on a
ab{9t—9i) —c(a9\ -h b0\) = a(a - a') -h 6((3 - (3'),
ou, à cause de l'identité (5),
En faisant passer tous les termes dans le premier membre et en divisant par le produit Sxè^ des plus grands communs diviseurs des coefficients b et c, a et c, on a finalement
(9) jf£(0.-0.)-îx<afl,» + *fli-t-/-y>=°-
j-g- est un nombre entier, premier à la fois avec t- et -c-- D'après l'équation (9), ce nombre entier doit donc diviser
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l83
exactement Bx— 0, et, en représentant le quotient entier correspondant par /, on a
L'équation (8) devient ainsi
OU
et cette équation admet une infinité de solutions entières, puisque les coefficients ô\ et dt sont premiers entre eux ( 181, 182). Les formules générales cherchées sont donc bien les formules (3), où les indéterminées 0, 0', 0" recevront toutes les valeurs entières, positives ou négatives.
EXEMPLE
