Résoudre en nombres entiers l'équation

\5x-\-6jr-\- 203 = 171.

Où aperçoit immédiatement la solution entière

x = 1 , jr = 26, 3 = o.

Par suite, toutes les solutions entières de l'équation seront renfermées dans les formules (202)

20k. Passons maintenant au cas d'une équation contenant un nombre quelconque d'inconnues.

Soit

(1) ax -\- by-\- cz -hdu -4-. . . = /",

cette équation générale, où les coefficients a, b, c, d, . . ., k sont des nombres entiers, positifs ou négatifs. On doit toujours la supposer ramenée à sa plus simple expression, de sorte que les coefficients a, b, c, d, . . . , k n'aient plus aucun facteur commun.

Tous les coefficients du premier membre doivent être alors

premiers entre eux dans leur ensemble; car, s'ils admettaient un facteur commun autre que l'unité, toute solution entière rendrait le premier membre divisible par ce facteur sans que le second membre le fût. L'équation ne pourrait donc en comporter aucune.

Les coefficients a, b> c, d, ... du premier membre doivent être premiers entre eux dans leur ensemble; mais a et by par exemple, peuvent n'être pas premiers entre eux. Désignons par 5 leur plus grand commun diviseur et, par a' et b'f

les quotients vetv Nous pourrons mettre l'équation (1) sous

la forme

, , . k — c z — du — ... a'x^rb'y— % ,

et la question sera ramenée à résoudre en nombres entiers

l'équation

k — c z — du — ...

qui renferme une inconnue de moins, puisque lieu des deuj inconnues x et y, on n'a qu'une nouvelle inconnue t.

En opérant ainsi, de proche en proche, tout dépendra finalement de la résolution d'une équation à deux inconnues.