QUELQUES CAS PARTICULIERS DE L'ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ

205. C'est Bàchet de Méziriac quia donné, en 1624, l'analyse indéterminée du premier degré dans ses Récréations mathématiques. Lagrange a fait connaître, en 1770, dans un de ses beaux Mémoires, l'analyse indéterminée du second degré. Il a simplifié et généralisé sa méthode dans ses Additions aux éléments d'Algèbre d'EuLER, 1798. La question est une des plus délicates de l'Algèbre. Lagrange ajoute dans son Avertissement : « A l'égard des équations indéterminées des degrés supérieurs au second, on n'a encore que des méthodes particulières pour les résoudre dans quelques cas, et il est à présumer que, pour ces sortes d'équations, la résolution générale devient impossible passé le second degré, comme elle paraît l'être passé le quatrième pour les équations déterminées (*) »

Nous nous proposons seulement dans ce Chapitre d'indiquer comment on peut résoudre en nombres entiers l'équation du second degré à deux variables x et j, lorsque le carré de l'une des variables manque dans l'équation.

Premier cas (C = o).

206. Prenons l'équation générale du second degré à deux inconnues et à coefficients entiers, positifs ou négatifs,

kx* -h Bxy -+- C y* +Dx-hEj+F = o,

et supposons qu'on ait C = o.

L'équation deviendra du premier degré en 7, et l'on aura,

(») Œuvres de Lagrange, édition J.-A. Serret, t. VII, p. 7; Gauthier- VHlars, m dccc lxxvii.

l86 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

en rendant d'ailleurs les coefficients premiers entre eux dans leur ensemble, s'ils ne le sont déjà,

(1) (B^ + E)j + A^+Dj:4-F^o.

On en déduit

B^-hE

et Ton effectue la division indiquée dans le second membre. On trouve pour quotient