ABA, BAB
BAA, BBA.
De C. — Cours. 111. 16
Si Ton ne tient pas compte de l'ordre de succession des événements simples formant l'événement composé, il n'y a plus que quatre événements composés différents :
AAA, AAB, ABB, BBB,
dont les probabilités sont exprimées par
c'est-à-dire par les termes du développement (p -4- y)>.
On pourrait continuer ainsi do proche en proche; mais il vaut mieux passer immédiatement à la démonstration générale.
288. On peut toujours assimiler les épreuves répétées relatives aux mêmes chances à des tirages successifs de boules de diverses couleurs contenues dans une urne, la boule extraite étant rejetée dans F urne après chaque tirage, afin que tous soient effectués dans des conditions identiques.
Supposons donc, par exemple, une urne renfermant k boules blanches
et /boules noires. La chance d'extraire une boule blanche sera/? — 7 — -"> la chance contraire, c'est-à-dire celle d'extraire une boule noire, sera q = 7 — 9 et l'on aura p 4- q = 1 (244).
Admettons qu'on fasse m tirages successifs ou m épreuves répétées.
D'après la règle des probabilités composées (249, i°), la chance d'extraire d'abord m — n boules blanches, puis ensuite n boules noires, sera le produit de (m — n) facteurs égaux à la probabilité simple p et de n facteurs égaux à la probabilité simple q, c'est-à-dire pm-n qnm
Mais, si l'on ne doit tenir aucun compte de l'ordre de succession des boules blanches et des boules noires, et si l'on demande seulement la probabilité d'extraire en m tirages successifs m — n boules blanches et n boules noires dans n'importe quel ordre, il est clair (251, 287) que cette probabilité sera représentée par le produit p*-n qnf répété autant de fois qu'on peut faire de combinaisons avec m objets pris m — n h m — n ou n à n (226).
Il résulte immédiatement de là que, si l'on forme la m"1™ puissance du binôme (/?-+- q) (256),
(P ■+" q )'" =pm-+- ClnPm lq-+- C JnP"1-* q * H- . • .
le premier terme pm exprime la probabilité d'amener m boules blanches en m tirages; le deuxième terme C]npm"lq, la probabilité d'amener
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ïfô
m — i boules blcuiçhes et i boule noire; le troisième terme C}npm-*q*y la probabilité' d'amener m — 2 boules blanches et 2 boules noires ; et ainsi de suite.
Le terme général Cfnpm~nqn répond à la question posée et exprime la probabilité d'amener m — n boules blanches et n boules noires, en m tirages successifs.
Le dernier terme C{J qm exprime la probabilité d'amener m boules noires.
Remarquons que la somme de toutes ces probabilités est égale à i, puisqu'on a p -+-q — i. Et, en effet, cette somme représente une certitude (244), en ce sens que m tirages successifs ne peuvent donner que l'un quelconque des résultais que nous venons d'énumérer.
289. En définitive, en laissant de côté l'urne que nous venons de considérer et les boules qu'elle renferme, si nous appelons p la probabilité d'un événement simple A et q la probabilité' de l'événement contraire B, la probabilité de répéter, dans m épreuves successives et identiques, m — n fois l'événement A et n fois l'événement B, est représentée par le terme général du développement (p -+- q)m.
290. Nous avons vu que, si un événement composé peut arriver dans plusieurs hypothèses dont les probabilités sont inégales, sa probabilité est la somme des probabilités composées favorables à l'événement dans chaque hypothèse (251).
Par suite, si l'on veut savoir quelle est la probabilité que, dans m épreuves répétées, l'événement B, dont la probabilité est q, n'arrive pas plus de n fois (il pourra arriver moins de n fois), il suffit de faire la somme des termes du développement de (p-+-q)m (288), depuis le premier terme/?7" jusqu'au terme général Q/fnpm-nqny qui contient qn. Cette même somme exprime quelle est la probabilité que, dans les m épreuves répétées, l'événement A, dont la probabilité est /?, n'arrive pas moins de m — n fois (il pourra arriver plus de m — n fois).
291. Exemples. i° D'un jeu de 32 cartes, on tire successivement 5 cartes, qu'on remet chaque fois pour l'épreuve suivante. Quelle est la probabilité d'amener 3 cœurs?
On a ici
D faut développer (p -+-qy et prendre le terme du développement qui contient p* (288, 289), c'est-à-dire le terme
La probabilité d'amener trois cœurs sur cinq cartes tirées est donc la /^ * i i
fraction ?— comprise entre — et -— •
2° On jette un dé 4 fois de suite, et Von demande quelle est la probabilité d'amener Vas au moins deux fois.
On a ici
11 faut développer (p -+-ç)* et faire la somme des termes du développement jusques et y compris celui qui contient p* (190), c'est-à-dire la somme des termes
La probabilité d'amener l'as nu moins deux fois dans quatre jets successifs est donc la fraction ^ comprise entre - et g •
292. La somme de tous les termes du développement de (p+'q)m est égale à l'unité (288). D'autre part, le nombre des termes du développement ou le nombre des hypothèses relatives à la manière dont l'événement direct et l'événement contraire peuvent se produire dans les m épreuves répétées est égal à m -+- 1. Par conséquent, à mesure que m ou le nombre des épreuves devient plus grand, les différents termes du développement ou les différentes probabilités doivent décroître, en conservant de certains rapports.
293. Cherchons quel est le plus grand terme du développement de
On a (239) pour le terme général T„, comparé à celui qui le précède et à celui qui le suit immédiatement,
m — ff-t-i a T T w — n <1
T^T*-! y T«+|-I"im jï"
Pour que le terme T„ soit le plus grand terme du développement, il faut qu'on ait à la fois (262)
Il en résulte
,„ «=^>£-I et r!^!L<E. + lE..
ALGEBRE SUPÉRIEURE. ^45
On satisfait évidemment à ces deux dernières inégalités en posant (3) 2L=£ = £.
On voit alors que, si Von fait croître indéfiniment les deux nombres
m — n et n sans changer leur rapport, les termes - et - — tendent
vers zéro autant qu'on veut. On ne peut donc satisfaire aux inégalités (2) que par l'égalité (3).
On arrive ainsi à ce résultat remarquable :
En général, quand il s'agit d'un grand nombre d'épreuves répétées, l'événement composé dont la probabilité est la plus grande est celui dans lequel les nombres d'événements simples composants sont dans le même rapport que les probabilités de ces ci'énements.
Par exemple, si Ton tire un très grand nombre de cartes d'un jeu de 32 cartes, en remettant chaque fois la carte tirée, la probabilité d'amener
an cœur est r- ou T> et celle d'amener une carte d'une autre couleur 32 4
est 7» On a donc une probabilité plus grande que toutes les autres que
le nombre des cœurs sera à celui des autres cartes tirées dans le rap-
1 3 port de - à - ou de r à 3.
291. Nous allons chercher à comparer le terme maximum que nous venons de déterminer avec les termes qui le suivent ou qui le précèdent.
Désignons par M le terme maximum et par K un lerme placé k rangs après le terme maximum.
Nous aurons
AI = — — -1 i i pm-nqn
avec la condition
~h~ ~"q et
Leur rapport sera
ï/\6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
On peut poser évidemment (Jrit/tm., 188, i90)
m — n = rp et // = rq.
En divisant alors par r* les deux termes de l'expression (4), c© qui se fera en divisant par r chacun des facteurs du coefficient fractionnaire. qui sont en nombre égal à k au numérateur et au dénominateur, il viendra
■' » (fH.i)(,+y(t*j)...(,+ î)''
Si l'on fait maintenant croître indéfiniment le nombre des épreuves. m — // et n croîtront indéfiniment, et il en sera de môme de r. L'expression (4 bis) tendra donc elle-même indéfiniment vers la valeur
pk qk
qk pk c'est-à-dire vers l'unité.
Lorsqu'on multiplie suffisamment le nombre des épreuves, la probabilité exprimée par un terme R du développement de (p -+- q)m, situe k rangs après le terme maximum M, tend donc à devenir égale à la probabilité maximum exprimée par ce terme. La même propriété existe, comme on peut le démontrer d'une manière analogue, pour un terme R' situé k rangs avant le terme M.
En résumé, quand on fait croître le nombre des épreuves, les probabilités exprimées par les termes qui se succèdent de K' à R, R étant d'ailleurs quelconque, mais fixe, vont toutes en se rapprochant autant qu'on veut de la probabilité maximum exprimée par le terme M.
295. Reprenons l'expression (4) à un autre point de vue. Laissons m et n très grands, mais fixes, et faisons croître k. L'expression (4) peut s'écrire
R rp rp — î rp — a rp — ( k — i ) qk
M — rq -+- i rq -- 'i rq -+-3 rq -+- k pk
ou, en décomposant le dernier terme fractionnaire du second membre de manière à multiplier par 2 chacune des k fractions qui précèdent ce dernier terme,
R rpq rpq, — q rpq — iq rpq — (k — i)^
M ~~ rqp -+- p rqp -h ip rqp -+- Zp rqp -+- kp
On voit alors que les fractions du second membre vont en diminuant de la première à la dernière, puisque leurs numérateurs vont en décroissant et leurs dénominateurs en croissant. Il en résulte que, si on les rem-
place toutes par la plus grande d'entre elles qui est la première, on a, leur nombre étant A,
Gomme la quantité élevée à la puissance k dans le second membre de cette inégalité est moindre que l'unité, on peut, en faisant croître suffisamment k < m, rendre cette puissance moindre qu'une quantité donnée 8 (Alg. elém., 336). Il en résulte qu'en prenant k assez grand, on
peut a fortiori rendre ^ moindre que S. M
La même propriété existe, comme on peut le démontrer d'une manière analogue, pour un terme K' situé À- rangs avant le terme M.
Les probabilités exprimées par les termes qui s'éloignent indéfiniment du terme maximum M dans un sens ou dans l'autre sont donc de plus en plus petites par rapport à ce terme.
En rapprochant ce résultat du n° 294, on voit que les termes du développement qui ont, après le terme maximum M, les plus grandes valeurs, s'aggtomèrent pour ainsi dire dans son voisinage, et que leur somme constitue la plus grosse partie du développement total.
396. Tout ce qui précède conduit à une proposition fondamentale qu'on doit à Jacques Bernoulli, qui Fa démontrée dans son Ars conjecta/idi publié après sa mort, en 171 3, et qui a justement conservé son nom. Elle peut s'énoncer comme il suit :
Théorème de Jacques Bernoulli. — A mesure qu'on multiplie les épreuves concernant un événement simple A et l'événement contraire B, on a une probabilité toujours croissante que le rapport du nombre des événements A à celui des événements B ne s'écartera pas, en plus ou en moins, du rapport de leurs probabilités respectives p et q, d'une quantité supérieure à une limite donnée ; quelque resserrée que soit la limite indiquée, cette probabilité croissante peut, d'ailleurs, tendre indéfiniment vers l'unité, pourvu que le nombre des épreuves augmente suffisamment.
En effet, représentons par Ti, Ts, T3} . . ., Ta, les termes du développement de (p-±-q)m qui sont distants du terme maximum M, de 1, 1, 3, . . . , k rangs, comptés après ce terme. Les termes qui suivent T* seront T*+1, T*+î, 1k+z, • . -, T,*, ....
A mesure qu'on s'éloigne du terme maximum M, le rapport de chaque terme à celui qui le précède va en diminuant (295); le rapport inverse va, par conséquent, en augmentant. On peut donc écrire
T, ^ Tk+l T, ^ T*
3 1A+3 ** Tj*
On
en conclut évidemment
M ^ Tt T,
Jî<..
On
a aussi, identiquement,
MT u
-hTa-4-
+ Tlt
Si l'on remplace alors, dans le second membre de cette identité, ~
par les rapports successifs, tous plus grands, indiqués dans les inégalités (i), il vient, en simplifiant,
. M Tl-+-T>-f-T,-h...-4-T*
w Ta ^ T^i -f-T*+« h- T*+. + ...-+- T,*'
La valeur de A- qui rend ;=- plus grand qu'une quantité donnée v (295)
rend donc a fortiori le second membre de l'inégalité (2) plus grand que cette quantité.
Le terme M, qui renferme pm~* et ç", a m — // termes après lui; le terme T*, situé k rangs après M, en aura donc m — n — k après lui.
Si l'on désigne par a l'entier immédiatement supérieur à — ~~ *
on pourra partager ces m — n — k termes en a — 1 groupes de A- termes chacun, plus un dernier groupe contenant moins de k termes. Comme les termes considérés à partir de T, vont en diminuant de l'un à l'autre (293), la somme des termes de chaque groupe sera nécessairement inférieure à la somme des termes allant de Tt à T*. Or, si l'on représente la
quantité donnée ?> aussi grande qu'on veut pour k assez grand, par Na, N sera lui-môme aussi grand qu'on voudra et, puisqu'on a, par hypothèse, rrr > % > on aura aussi, d'après l'inégalité (2),
Tj-4-Tj-i- T,h-. . .-+- T*> Na(T*+|H- Ta+î H- T*4-3 + . . - TlA).
Le premier groupe de k termes après le terme maximum M peut donc être rendu plus grand que N a fois le groupe de k termes qui vient après Ta- et, a fortiori, plus grand que N fois la somme de tous les termes qui viennent après T*, puisque les (a — 1) groupes de k termes qui suivent T* et le dernier groupe contenant moins de k termes et terminant le développement diminuent de l'un à l'autre.
On démontrera, d'une manière analogue, que la somme des k termes qui précèdent immédiatement le terme maximum M, et qu'on peut dési-
gner, en remontant, par T'n T',, T's, ..., T'*, peut être rendue plus grande que N fois la somme de tous les termes qui précèdent T*.
Il en résulte que la somme des termes qui vont de T* à T*, en laissant môme de côté le terme maximum M, peut être rendue plus grande que N fois la somme de tous les autres termes du développement de
Si Ton désigne par Sa- la somme des termes allant inclusivement de T* à T* et, par R, le reste du développement de (p-*-q)m, avant et après, on peut donc toujours prendre k assez grand pour avoir, en désignant par p uno quantité finie,
S*=NR-*-p;
ce qui donne, pour le développement entier, l'expression
NR -f- p -+- R.
Mais les probabilités exprimées par T'*, . .., T"3, T',, T"lf et par Tt, Ta, T3, . . . , T*, sont, pour m assez grand, aussi proches qu'on veut de
la probabilité maximum M (29i) qui répond à la condition m~~n = t
(293), c'est-à-dire qui représente la probabilité p que l'événement A se produira m — n fois sur m épreuves répétées.
11 s'ensuit que, si la répartition des événements A et 6 a lieu conformément aux exposants qui affectent p et q dans l'un des termes de S*. cette répartition différera aussi peu qu'on voudra, pour m assez grand, de celle qui donnerait m — n fois l'événement A sur m épreuves,
~~ étant égal à la probabilité p de l'événement simple A.
Or la probabilité que la répartition des événements A et B répondra à l'un des termes do Sa étant désignée par P, on a évidemment
Comme, en multipliant suffisamment le nombre m des épreuves, on peut augmenter k < m et, par suite, NR et N autant qu'on veut, la probabilité P, toujours croissante, tend indéfiniment vers l'unité. Cest précisément ce qu'on voulait démontrer.
Cherchons, comme application, quelle est la probabilité d'extraire
une figure d'un jeu de Si cartes, lorsqu'on multiplie les tirages dans
les mêmes conditions. Comme il y a 12 figures, la probabilité pour l'évé-
12 3 nement simple est r- = — • D'après le théorème de Jacques Bernoulli,
la probabilité que, pour un très grand nombre de tirages, le rapport du
NR
NR
NR-h
25o ALGÈBRE SUPÉRIEURF.
nombre de figures tirées au nombre total des tirages ne différera pas de 73'
~ > en plus ou en moins, d'une quantité supérieure à la limite t aussi
resserrée qu'on voudra, et restera compris entre -r — s et -» -1- s.
cette probabilité approchera de l'unité et, par conséquent, de la certitude autant qu'on voudra, à la seule condition de multiplier suffisamment les épreuves.
