Un cas particulier doit être mentionné

Lorsqu'on demande la probabilité qu'un événement désigné arrivera au moins une fois dans un nombre donné d'épreuves répétées, le calcul peut se faire très simplement.

La seule chance contraire est, en effet, que l'événement désigné n'arrive pas du tout. On n'a donc qu'à calculer la probabilité correspondante et à la retrancher de l'unité.

Veut-on, par exemple, chercher quelle est la probabilité de marquer Tas au moins une fois en jetant trois fois de suite un dé à jouer? La pro-

habilité de ne pas jeter l'as étant -» la probabilité de ne pas le jeter dans

les trois épreuves répétées sera (2-9) ~ « r =-• — «• La probabilité de

le jeter au moins une fois dans les trois épreuves sera donc i '—. = —t - *

fraction comprise entre - et ^ > mais beaucoup plus voisine de - •

298. 11 n'est peut-être pas inutile de rappeler, en terminant cet exposé, que le terme de probabilité doit toujours être entendu dans le sens mathématique de la définition du n° 241. Par exemple, la proposition relative au terme maximum du développement de (p ■+■ q)m (293) signifie simplement que, parmi toutes les hypothèses qu'on peut faire sur l'apparition des événements simples A et B, celles qui donnent, pour le rapport du nombre des événements A à celui des événements B

dans une série d'épreuves répétées, la valeur même du rapport — des

probabilités des événements simples A et B, sont en plus grand nombre que les hypothèses donnant au premier rapport une valeur différente

de£.

299. On se demandera sans doute, d'après cela, quel est le degré de confiance qu'on doit accorder à la théorie des probabilités, et il faut répondre qu'on se tromperait gravement en croyant que l'expérience justifie toujours, même à peu près, les prévisions du calcul. Ce n'est que dans le cas des épreuves répétées qu'il peut en être ainsi, puisqu'on a

alors la latitude, en multipliant le nombre des épreuves, de rendre la probabilité aussi voisine qu'on veut de la certitude d'après le théorème de Jacques Bernoulli, dont on aperçoit ainsi l'extrême importance.

C'est ce que n'ignorent pas ceux qui établissent des maisons de jeux de hasard. Comme le nombre des joueurs ou des épreuves est considérable, les conventions, tout en semblant favorables aux joueurs, peuvent facilement être calculées de manière que, en définitive et malgré les fluctuations apparentes du sort, les entrepreneurs soient assurés d'un bénéfice estimé d'avance et les joueurs de la perte correspondante.

300. Nous remarquerons, en dernier lieu, que nous avons supposé jusqu'ici toutes les chances possibles complètement énumérées et toutes ces chances également possibles. Mais il est bien évident que, pour les événements fortuits dont l'homme n'a pas déterminé directement les conditions, les causes qui donnent telles chances à tel événement sont presque toujours inconnues ou trop compliquées pour que nous puissions les analyser rigoureusement.

Pour nous faire mieux comprendre, prenons des exemples physiques.

Quand on joue k pile ou face avec une pièce de monnaie, il n'y a, au premier abord, que deux chances possibles, puisque la pièce doit nécessairement tomber, même lorsqu'elle roule en touchant le sol, sur l'un de ses deux côtés. La probabilité mathématique de chaque événement

est donc - • Mais la pièce pourrait n'être pas homogène, elle pourrait être

frappée de manière à tomber plus facilement sur l'un de ses côtés. Si, en consultant l'expérience, on la voyait marquer régulièrement trois fois face et une fois pile, on devrait dire que le jet de la pièce est soumis à quatre chances, trois pour/ac<s, une pour pile, et les probabilités mathématiques des deux événements seraient 7 et - •

De même, quand un dé à jouer est bien construit, il doit tomber avec une égale facilité sur chacuno de ses faces. Mais, en altérant le dé, soit sous le rapport de la forme, soit sous le rapport de l'homogénéité de la matière, on peut rendre la probabilité du jet de l'as, par exemple, aussi grande ou aussi petite que l'on veut.

On pourrait d'ailleurs jouer avec des dés ainsi pipés, à la condition de connaître leurs irrégularités et de tenir exactement compte des chances diverses attachées au jet de chaque point.

301. Cette inégalité dans les chances, sur laquelle nous venons d'appeler l'attention, se reproduit à chaque instant dans l'appréciation des probabilités qui se rapportent à la succession des phénomènes naturels ou sociaux. La difficulté est seulement rendue encore infiniment plus grande par l'ignorance où nous sommes des conditions ou des causes

H faut alors s'aider de considérations nouvelles, telles que celles qui

concernent les moyennes et les limites d'erreurs, par exemple, pour estimer la probabilité d'un événement.

Les probabilités des événements dont on connaît le nombre et la nature des chances sont des probabilités a priori : ce sont celles dont nous nous sommes occupé. Les probabilités des événements dont le nombre et la nature des chances sont inconnus sont des probabilités a posteriori.

Pour ces dernières, qui sont les plus importantes à déterminer, il faut recourir à l'expérience. C'est le théorème de Jacques Bernoulli qui permet cette détermination expérimentale. Car si, en m épreuves, l'événement désigne est arrivé n fois, m et n étant suffisamment grands, la probabilité P que la probabilité inconnue x de cet événement différera de

—, en plus ou en moins, d'une quantité s aussi petite qu'on voudra, tendra

indéfiniment vers l'unité ou vers la certitude, en faisant croître indéfiniment m et n.

Prenons, par exemple, la question des naissances des deux sexes. Nous sommes dans une grande ignorance des conditions qui déterminent la proportion des sexes dans chaque espèce animale; et c'est un des plus curieux problèmes qu'on puisse se proposer, que de prévoir en particulier, par l'observation, la probabilité ou la chance d'une naissance masculine et celle contraire d'une naissance féminine.

Dès le commencement du xvni0 siècle, en compulsant les registres publics, on put remarquer que le nombre des naissances masculines l'emporte, d'une manière générale, sur celui des naissances féminines. Et c'est là, aujourd'hui, un fait que l'ensemble des documents recueillis par la Statistique a parfaitement constaté.

En consultant les relevés officiels reproduits dans Y Annuaire du Bureau des Longitudes, on trouve qu'il y a eu en France, pendant la période décennale qui s'étend de 1817a 1827 exclusivement, un nombre de naissances masculines égal à 4 981 766 et un nombre de naissances féminines égal à 4 674 569. Le rapport du premier nombre au second étant 1,0657, il doit y avoir, d'après ce qui précède, une très grande probabilité que le rapport du nombre des naissances masculines à celui des naissances féminines s'écartera peu de ce résultat pour l'année 1827.

Or, en consultant {'Annuaire, on trouve , pour cette année 1827, 5o5 307 naissances masculines et 474 889 naissances féminines, c'està-dire un rapport égal à 1,0641. L'écart n'est ainsi, en moins, que de 0,0016.

Si l'on pouvait adopter pour la France le rapport 1.06, il répondrait à très peu près à 18 naissances masculines contre 17 naissances féminines.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces notions.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. a53