PUISSANCES ET RACINES D'UN POLYNOME
Puissances d'un polynôme.
302. On peut présenter de deux manières la recherche de la puissance mièmt d'un polynôme quelconque, m étant entier et positif.
Dans la première méthode, on s'appuie sur la formule du binôme; dans la seconde méthode, dont l'exposition est beaucoup plus simple et plus rapide, on opère directement en ayant recours à la théorie des permutations avec groupes d'objets identiques et des combinaisons avec répétition des objets.
303. Première méthode. — En considérant deux termes d'un trinôme comme n'en formant qu'un seul, on peut ramener à la formule du binôme les puissances de ce trinôme; et, en appliquant de proche en proche le même procédé, on peut ramener à la formule du binôme les puissances d'un polynôme quelconque.
Soit d'abord le trinôme (a + 6-i-c) à élever à la puissance m. En regardant a -+- b comme un seul terme, il vient (255)
m(m — i)(m — 2). ..(m — jp + i), H - ^ — * - -(a-hb)m-*cP-h...+ c'>
11 reste à développer dans le second membre les différentes puissances du binôme (a + b).
On obtiendra ainsi évidemment une série de termes dans
lesquels la somme des exposants des lettres a, b, c, sera constamment égale à m.
Par exemple, les termes provenant du terme général
— ç-i i C -' (a -+- b)m-PcP
contiendront tous le produit de cp par des puissances de a et de b dont la somme des exposants sera toujours m —p.
Réciproquement, si a, (3, y désignent trois nombres entiers satisfaisant à la condition
ol -+- (3 -+- y •-- /n,
le développement renfermera nécessairement un terme en a*bïcT.
En effet, le développement renferme un terme en cYqui est
et (a -h &)'n-Y renferme un terme dans lequel a et b ont des exposants a et [3 tels que la condition a -h (3 = m— y ou a + P + y = /n soit satisfaite.
Cherchons l'expression du coefficient du terme en aab$ci.
Par une transformation connue (223), on peut mettre ce ternie représenté par l'expression (1) sous la forme
(«-h&y'-ïcï.
Dans le développement de (a -+- b)m-y, le terme en <za6P ou en a*bm-Y-a a d'ailleurs pour coefficient, d'après la même transformation,
Le coefficient du terme en a*b$tf est donc
et ce terme lui-même a pour expression, en tenant compte de la relation « + |3 + y = w,
(2) -rlr- 7 "*!>$&..
' al pi y!
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 255
Pour avoir maintenant tous les termes du développement de (a -+- b -+- c)m, il suffit de substituer dans l'expression précédente toutes les valeurs de a, (3, y, qui, en restant comprises entre o et m} satisfont à la condition a -t- (3 4- y = /w.
304. Il faut seulement faire cette restriction que, pour a = o, par exemple, la suite correspondante a ! doit être remplacée par l'unité.
En effet, le terme considéré répond alors au dernier terme du développement auxiliaire de (a 4- b)*+$ ou de (a 4- b)m-iy qui se réduit à b? ou à b'n~y affecté du coefficient 1 . Il faut donc que le coefficient
qui devient — dans le cas de a = o, représente lui-môme
l'unité dans cette hypothèse; ce qui conduit à la convention indiquée.
305. Le même raisonnement est applicable à la recherche du terme général de la puissance /nième d'un polynôme quelconque
Posons, en effet,
La puissance cherchée deviendra
(a H- a?)», et son terme général sera
Posons alors nous aurons
al (m — «)!
y=.c -hrf-H. • ., jjm-a— (b-hy)m~*,
et le terme général de ce nouveau développement sera
a 56 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Le terme général du développement (a -h x)m ou du développement cherché deviendra donc
ml
{m~«V- 9g*rty~-*-t
ou, en simplifiant,
tflt/ m- ôtt a«6P/*-«-P.
a! pi (m — a — (3)1 y
Posons encore et nous aurons
Le terme général de ce dernier développement étant
le terme général du développement cherché deviendra, après simplification,
a!(3!y!(iw — a — (3 — y)!
La loi est évidente et, en continuant, on trouvera, pour terme général du développement de
(a + b + c + d-h. . .)"S l'expression
^ a*6Pcïd*....
al(3!y!3!...
On en déduira tous les termes du développement en substituant à a, (3, y, 5, . . ., toutes les valeurs qui, en restant comprises entre o et m, satisfont à la condition
a-t-fJ-t-y-t-à-+-...= Jra,
pourvu que Ton convienne de remplacer par l'unité les suites al, (31, y!, 31, ..., pour les valeurs particulières a = o, (3 = o,
306. Seconde méthode. — Élever un polynôme quelconque a + b -f-c -\-d~\-. . .
à la puissance m, c'est multiplier entre eux m polynômes
égaux au polynôme donné. Chaque terme du produit comprendra donc un terme de chacun de ces m polynômes {Alg. élém., 29).
D'ailleurs, comme ces m polynômes sont égaux, la lettre a pourra se présenter a fois comme facteur; la lettre b, (3 fofs; la lettre c, y fois, etc. Le terme général qu'il s'agit de former contiendra donc le produit a*b$ct<fi. . . et il aura un coefficient égal au nombre de permutations qu'on peut faire avec m objets, en en supposant a égaux à a, (3 égaux à b, y égaux à c, etc. Ce coefficient sera donc (238).
P- ou ml
PaP{$PYlV.. «l|3!y!a!...
Le développement cherché pourra donc être représenté par la formule •
(fl + Hc + rf+..0»=2ïp^r-fl«W....
Pour avoir tous ses termes, il suffira de donner à a, |3, y, d, . . . , toutes les valeurs compatibles avec la condition
en acceptant toujours la convention a I = i pour a = o ou, d'une manière générale, la convention P0= i.
307. On peut demander quel est le nombre des termes du développement, le polynôme donné {a-\-b-)-c-hd-t-...) comprenant n termes.
11 est clair que ce nombre est celui des combinaisons qu'on obtient en prenant n objets m h m, avec permission de répétition et n pouvant être moindre que m. En effet, chaque terme du développement doit renfermer comme facteurs, avec permission de répétition, un des n termes de chacun des m polynômes égaux au polynôme donné, qu'on multiplie entre eux. Le résultat cherché est donc (235)
li) (CRr = * (" + ')(* + *) • - • ( " + m — 0 ,
C'est aussi, comme on l'a déjà remarqué, le nombre de combinaisons sans répétition de (n -+- m — i) objets pris m à /w. De C. — Cours. 111. 17
Comme on a (226)
on peut encore, en remplaçant m par /> — i et, par conséquent, n par m 4- 1, prendre pour résultat
/«\ /rn\« (m -4-1) (;w +a)(»> -f- 3). . .(m 4-/1— 1) (2) (CR). __^__
On emploiera la formule (1) ou la formule (2), suivant que m sera plus petit ou plus grand que /i — 1.
Applications.
308. 1 ° Carré d'un polynôme. — Soit le polynôme (a -+- b -+- c -+- d -*- . . .) à élever au carré.
On devra faire m = 2 dans la formule générale du n° 306 et, par conséquent, il n'entrera que deux lettres dans chaque terme du développement. On aura ainsi
avec la condition a -+- P = m = a.
Si l'on suppose a = 2, on a p = o.
Par suite, Pi= 2, P«= 2, Pp= 1 (d'après la convention du n° 304), et l'on déduit du terme général des termes de la forme «*.
Si l'on suppose a = 1 , on a p = 1 .
Par suite, Vt = 2, Pa= 1, Pp = 1, et l'on déduit du terme général des termes de la forme lab.
Si l'on suppose a = o, on a p = 2, et l'on retombe sur le premier résultat.
On a donc finalement
(a -+- b h- c -h d + . . . )2= £rt2-h *Liab.
C'est la loi connue (Alg. élém., 224) qu'on énonce en disant que le carré d'un polynôme renferme les carrés de tous ses termes et les doubles produits de tous ses termes pris deux à deux.
309. 20 Cube d'un polynôme. — Soit le polynôme (a -+- b -h c -+- d^- ...) à élever au cube.
On devra faire m — 3 dans la formule générale du n° 306 et, par conséquent, il n'entrera que trois lettres dans chaque terme du développement. On aura ainsi
{a + b + c + d+...y^?-^a*b?cy,
avec la condition « -*- p -+- y = 3.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 2D9
Si Ton suppose a = 3, on a p = o et y = o.
Par suite, Pj=6, Pa=6, Pp— i, Py = i (par convention), et l'on déduit du terme général des termes de la forme a%.
Si l'on suppose a = 2, on a p = i et y = o ou p = o et y = 1 .
On a donc, dans les deux hypothèses, P3 = G, Pa = 2, Pp = 1, Pr = 1 , et Ton déduit du terme général des termes de la forme Zaïb ou 3a2r, c'est-à-dire de la môme forme.
Si Ton suppose a = 1 , on a en même temps p = 2 et 7 = o, ou p = 1 et y = 1 ou p = o et y = 2.
On a donc, successivement,
P3-6, Pa-i, Pfi=*, Py = i,
ou
Ps=6, Pa=i, Pp=i, Pv-i, P3=6, Pa=i, Pp-l, PY-2,
et le terme général conduit à des termes de la forme Zab* ou 6 abc ou 3ac8, c'est-à-dire à des termes de la forme 3a*b déjà obtenue et à des termes de la forme 6 abc.
Enfin, pour a = o, on retombe évidemment sur Fun des résultats précédents.
On obtient, par suite, la formule
(«+t + c + rf + ...)3^ 2rt3-H Z3a*fc-t- 26abc.
On en conclut que le cube d'un polynôme est égal à la somme des cubes de tom ses termes plus trois fois la somme de tous les produits résultant de la multiplication du carré d'un terme par la première puissance d'un autre terme, plus six fois la somme des produits de tous les termes pris trou à trois.
310. 3° Formule du binôme. — La formule générale, que nous avons démontrée par notre seconde méthode (306), doit contenir celle du binôme. En effet, si le polynôme donné est x -+- a, on a, d'après cette formule générale,
avec la condition a -+- p = /h, d'où p = m — a. Il vient donc
Le coefficient placé sous le signe. 2 étant égal à ml
ou à C% (223),
2ÔO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
le terme général du développement n'est autre chose que
et se confond avec le terme général de la formule du binôme (256).
Racines d'un polynôme.
311. Admettons qu'un polynôme entier P, ordonné suivant les puissances décroissantes d'une certaine lettre ordonnatrice, soit la puissance mième d'un autre polynôme entier Q ordonné de la même manière. Le polynôme Q est alors la racine m'*0" du polynôme P, et l'on peut poser
Connaissant P, on se propose de trouver Q.
312. Si Ton regarde Q comme un binôme formé de son premier terme a el de l'ensemble de tous ses autres termes considérés comme un seul terme, on aura (255)
= am -\- mam~l(b-t- c-\-d-+-...-\-k-+-l) m (m — i )
•a'»-2(Hc + rf + ... + ^ + /)î+....
L'expression (i) est une identité. Comme on suppose les deux polynômes ordonnés de la môme manière, le premier terme de P doit être égal à am et, par suite, le premier terme a de la racine Q est la racine mième du premier terme de P.
On peut donc énoncer cette première règle :
Pour trouver le premier terme de la racine miime d'un polynôme, on n'a qu'à extraire la racine miimt du premier terme de ce polynôme.
Si le premier terme de P est À xn9 on aura donc
a = *\/kœn = xm "s/H.
Les deux polynômes P et Q étant supposés entiers par rapport à x et de plus réels, n devra être un multiple de m et A devra être positif si m est pair (130, 2°). On pourra alors accepter
les deux valeurs réelles de VA, qui sont égales et de signes contraires (130, i°). Si m est impair, "sfk n'aura qu'une seule valeur réelle de même signe que À (130, 3°).
"Nous remarquerons immédiatement, avant d'aller plus loin, que le dernier terme de la racine supposée exacte peut s'obtenir immédiatement comme le premier terme, «ai extrayant la racine miime du dernier terme de P.
En effet, si Ton regarde la racine Q comme formée de l'ensemble de tous ses termes, moins le dernier, et de ce dernier terme /, le dernier terme de Qm est évidemment lm. Si L est le dernier terme de P, on a donc identiquement
