L=/'« OU /=7E

313. Il s'agit maintenant d'obtenir les autres termes de la racine Q, à partir du deuxième terme.

Pour cela, nous déduirons de l'égalité (i) la valeur de P — a'", et nous aurons ainsi un premier reste Ht qui sera

| R,= /naflI-1(ô-fc + rf-f... + ^ + /) (a) < ^?l(^a,^

11 est évident que le premier terme de Rt, qui est en même temps le premier terme de P — am ou le second terme de P, est sans réduction mam-lb, puisque les deux polynômes sont ordonnés suivant les puissances décroissantes de la même lettre et que ce terme mam~xb contient alors la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé que tous les autres termes du second membre de l'égalité (2).

Il en résulte qu'en divisant le premier terme de R, par ma'"-1, on obtiendra nécessairement pour quotient le deuxième terme b de la racine Q.

Continuons. La partie écrite à la racine étant a -h by regardons Q comme composé d'un premier terme (a -+- b) et de l'ensemble de tous ses autres termes comme second terme. Nous aurons ainsi

Nous déduirons de l'égalité (3) la valeur de P —(a -+- b)mf et nous aurons ainsi un deuxième reste R, qui sera

i + — — — -(a + byn~*{c + d-h...+-k-hiy-h.. .

Il est évident que le premier terme de R, est, sans réduction, mam-lc, parce que ce terme contient la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé que tous les autres termes du second membre de l'égalité (4).

Il en résulte qu'en divisant le premier terme de R* par ma™-1, on obtiendra nécessairement pour quotient le troisième terme c de la racine Q.

On peut poursuivre d'une manière analogue ; la loi est générale, et l'on peut énoncer celte seconde règle :

Pour trouver les différents termes de la racine, à partir du deuxième terme , on n'a qu'à diviser par le diviseur constant mam-%, c'est-à-dire par m fois la (m — i)'"ne puissance du premier terme de la racine, le premier terme de chacun des restes successifs R,, R8, R3, . . . , ces restes s' obtenant d'ailleurs en retranchant du polynôme P la miéme puissance du premier terme, des deux premiers termes, des trois premiers termes, etc. de la racine Q.

31k. Lorsqu'on parvient au dernier terme / de la racine Q, on doit obtenir un reste nul, puisqu'on retranche alors Qm de P.

Réciproquement, un reste nul indique que la racine est complète, puisque la mièmo puissance de cette racine reproduit le polynôme donné.

315. Nous ne nous arrêterons pas au cas où la lettre ordonnatrice entrerait avec le même exposant dans plusieurs termes de P. Il n'y a alors qu'à se reporter à ce qui a été dit sur ce sujet, pour la division et l'extraction de la racine carrée des polynômes (Alg. élém., 47, 2$6).

Des racines inexactes.

316. Nous avons supposé jusqu'à présent que P était la puissance mième exacte d'un certain polynôme Q.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 2Ô3

Si cette condition n'est pas remplie, mais si Ton peul, toutefois, commencer 1'exlraction de la racine mième de P en appliquant les deux règles énoncées plus haut (312, 313), on voit, d'après ce qui précède, que le polynôme P sera, à un instant donné, égal à la mième puissance de Ta partie S écrite jusque-là à la racine, plus le reste R correspondant, et qu'on aura l'identité

Mais l'opération n'aura pas de fin, puisque R ne peut pas être nul, et, en la poursuivant, on obtiendra une suite illimitée de termes où l'exposant de la lettre ordonnatrice deviendra négatif et croîtra indéfiniment en valeur absolue. Ces exposants négatifs n'apparaîtront que si l'on atteint le reste de degré inférieur à S par rapport à la lettre ordonnatrice.

On peut remarquer l'analogie qui existe ici entre l'extraction des racines et la division des polynômes (Alg. élérn., 90, 227).

317. Lorsque le premier et le dernier terme du polynôme P ne sont pas tous deux des puissances mièmes exactes, on peut affirmer qu'aucun polynôme Q, tel que nous l'avons défini, ne peut être la racine mièmc de P (312).

Si la racine mième du premier terme de P a un coefficient irrationnel, il peut se faire que la racine miim* de P, alors à coefficients irrationnels, soit rationnelle par rapport à la lettre ordonnatrice. Mais, si la racine mièm0 du premier terme de P est complètement rationnelle, l'opération continuée ne peut amener à la racine que des termes rationnels. Il faut donc que le dernier terme de la racine soit aussi rationnel, c'està-dire que le dernier terme de P soit, comme son premier terme, une puissance miènae exacte. S'il n'en est pas ainsi, l'extraction de la racine est impossible exactement.

318. Il est inutile d'appuyer sur l'analogie qui existe entre l'extraction de la racine mièm8 des polynômes et celle de leur racine carrée, et de revenir sur la théorie de cette dernière, développée précédemment {Alg. élém., 226 à 229).

Nous ferons seulement remarquer que, si n est le degré d'un polynôme P, on ne peul commencer l'extraction de la racine carrée dans les conditions admises, que si n est pair. Alors, en poursuivant l'opération jusqu'à ce qu'on parvienne à un

reste R de degré inférieur à la partie S écrite à la racine ou

de degré inférieur à — > on obtient l'identité

On peut dire, dans ce cas, que ±: S est la racine carrée de P, et R le reste de l'opération.

Il est d'ailleurs facile de voir que cette décomposition de P n'est possible que de la manière indiquée.

Supposons, en effet, qu'on puisse avoir

P=S2+R et P = S/,-+-R\ Il en résulterait identiquement

S»-hR = S,1-hR/

ou

Mais S et S' sont de degré - par rapport à la lettre ordonna- |

trice, R et IV sont de degré inférieur. L'identité précédente est donc impossible (18), à moins qu'elle ne se réduise à 0 = 0. Mais on a, dans celte hypothèse,

(Sh-S')(S — Sf)r=o et R'— R = o

ou I

S = ±S' et R = R'.

La racine carrée de P n'admet donc bien que deux valeurs I égales et de signes contraires, et l'opération conduit toujours au même reste. !

Applications.

319. i° Extraction de la racine miime des nombres entiers. — Comme un iiombre entier peut toujours être regardé comme la somme de ses dizaines et de ses unités, il est facile de lui appliquer les principes précédents, quel que soit le degré de la racine qu'on veuille extraire, en raisonnant d'ailleurs comme nous l'avons fait en Arithmétique pour la racine carrée et pour la racine cubique. i

Quand le degré de la racine est un nombre composé de facteurs premiers 2 et 3, on n'a qu'à extraire successivement des racines carrées et ! cubiques (137). Ainsi,

yja — V >J a —

Mais, quand les facteurs premiers de l'indice de la racine sont différents de 2 et de 3 ou quand ce degré est lui-môme un autre nombre premier, il faut opérer directement.

Soit, par exemple, à extraire la racine cinquième d'un nombre.

On commencera par former le tableau des puissances cinquièmes des neuf premiers nombres. Ce tableau permettra d'obtenir, à l'unité près, la racine cinquième des nombres moindres que ios, c'est-à-dire qui n'ont pas plus de cinq chiffres {Arithm.y 278).

Quand le nombre donné aura plus de cinq chiffres, sa racine cinquième en aura au moins deux, et l'on pourra la regarder comme composée de a dizaines et de b unités. Cotte racine sera alors exprimée par (a. io -h 6), et l'on aura (235)

(rt.io-f- b)* = rt5. ioB h 5ak. lo^.b -+-. . . .

Soit, pour fixer les idées, le nombre 14348907 dont on veut extraire la racine cinquième.

La cinquième puissance des dizaines de la racine ne pouvant donner que des centaines de mille, on est conduit à partager ce nombre en tranches de cinq chiffres. Ici, on n'a que deux tranches, et l'on doit extraire la racine cinquième de la plus, grande cinquième puissance renfermée dans la dernière tranche i43. Comme on a 2* = 3a et 3* = 243, le chiffre des dizaines de la racine est égal à 2. En retranchant 25.ios du nombre proposé, on a pour reste n 148907. Ce reste est supérieur au deuxième terme 5<z*.io*.l> du développement de la racine, qui ne peut donner d'ailleurs que des dizaines de mille. 11 en résulte que le nombre 1114 des dizaines de mille du reste est au mouis égal à 5akb. En divisant 11 14 par 5«*, ou par 5.2* = 80, on obtiendra donc un chiffre égal ou supérieur au chiffre b des unités de la racine.

Le quotient de 1114 par 80 étant supérieur à 10, on essayera d'abord le chiffre 9, en cherchant si la cinquième puissance de 29 peut se retrancher du nombre considéré. Comme cette puissance est trop grande et qu'il en est de môme de celle de 28, nous descendrons jusqu'à 7, qui est le chiffre b des unités; 27* reproduit précisément le nombre donné,

et Ton a exactement

Quand on a besoin d'extraire des racines numériques de degré élevé, il est d'ailleurs toujours plus simple d'opérer par logarithmes.

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

320. 2° Dans toute progression par différence dont la raison est l'unité, le produit de quatre termes consécutifs quelconques augmente de i est toujours un carré parfait.

Soit x un terme quelconque de la progression. Les quatre termes consécutifs que nous devons considérer seront x, x ■+- 1, x -h 2, a- -+- 3. et il faut prouver que

N = x(x -+- i)(.r -+- 2) (x -+- 3) -h i = xk-h 6 a?1-*- ii^+Gx + i

est un carré parfait.

Nous n'avons qu'à essayer d'extraire la racine carrée de N suivant la règle connue gui se confond avec la règle générale (312, 313). Nous aurons (Alg. élém., 226)

xk -t- 6.r3 -+- 1 1 x* -»- 6x -i- i 6.r3-,- n.r*-i- Qjc -i- i a.r'-t- 6x-f- i

(2.x2 -h 3x)3.r (2.r2-h 6.r -hiji

On trouve un reste nul, et l'on a

N = (.rJH Le théorème est donc démontré.

321. 3° Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que le polynôme du quatrième degré

A0x^-^ A1.r3-hA2.r2-h A3.rH-A4

soit un carré parfait.

On essayera l'extraction de la racine carrée du polynôme, et l'on poursuivra l'opération jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste du premier degré en x. En écrivant que ce reste est identiquement nul, on obtiendra évidemment les conditions cherchées.

Le calcul se présente comme il suit :

A0.zv -4- Ai .r3 -+- Aj.r* -f- A3.r -+- A^ Ai .r3 H- A2 r* -+- A3 x -f- A4

(Al"^;)xi^AîX+At

f AI((A,A,-Af)1 f . (4A,A,- LAs TÂ1 J * ^ LAi 64I

v/Âix'-t-

ly/Tëx1-

-Al-,

At

2 l/Ao^-f- -~: X-+- — "=-

OoAt^AÎ SAoV^

Le reste du premier degré en x peut donc se mettre sous la forme

8A»A3 — 4A0A1A2^A* ^ ()4AjjA4-i6AiJA|^-8AoA?A2- A? 8 A? *r"" 64 AJ

et les conditions pour que le polynôme donné soit un carré parfait sont évidemment

(1) A? — 4A0A1A2-r-8AÎA3^o,

(•2) A}-8A0A*A2-f-i6A^4*-64Aj}Ai-o.

On pourrait traiter la question d'une autre manière en se reportant à l'exemple du n° 29, où nous avons cherché les conditions de divisibilité du même polynôme du quatrième degré par le trinôme du second degré B0xs-i-Bi.r-t-Bî. En exprimant que ce diviseur et le quotient trouvé alors sont identiques, on pourra éliminer les coefficients B0, Bi, B2 du diviseur qui deviendra la racine carrée obtenue ci-dessus. Puis, en introduisant les valeurs de B0, Bl7 B2 dans les équations de condition (i) et (2) du n° 29, on retombera sur les équations de condition que nous venons d'écrire.

322. 4° appliquer la méthode des coefficients indéterminés (Livre ï*r, Ch. III) à V extraction de la racme mième des polynômes.

Admettons que le polynôme inconnu

o0J:,»-i-a1.r"-1-+-. . .+ 0Ln soit la racine mième exacte du polynôme donné

Ao^-r- Ài-cf-i -+-. ■ .h- A,,.

On devra avoir identiquement

(x0x* -+- oLiX"-1 -+- . . .-h a„)'« = =--= A0xt>-h AiXP-l + . . .-+- Ap. Les deux polynômes devant être de môme degré (18), on aura

mn = p.

Il faut donc, pour que le problème soit possible, que p soit un multiple de m. Si cette condition est remplie, n — — sera le degré de la racine,

et Ton connaîtra le nombre de ses coefficients a0» at, a2, . . ., a„.

En élevant cette racine à la puissance m, on obtiendra un polynôme de degré p comme le polynôme donné et, en égalant, pour les n -+- 1 premiers termes, les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux polynômes, on aura n -+- i équations pour déterminer les « + 1 inconnues. Les équations qui exprimeront l'identité des termes suivants des

deux polynômes, et dont le nombre sera égal à p — n, seront des équations de condition qui devront être satisfaites d'elles-mêmes.

Les n + 1 équations qui déterminent les coefficients de la racine onl une forme qui rend leur résolution très facile. La première équation ne renferme que a0; la deuxième équation ne contient que «o et at, cto« étant connu, elle donne at qui n'y entre qu'au premier degré; la troisième équation ne contient que a0, au as? et a© et at étant connus, elle donne as qui n'y entre qu'au premier degré; et ainsi de suite.

Remarquons, en effet, que, si l'on effectue le développement de

( OL0xn -h ZiXn~l -f- oit -zn~l -t- . . . -+• a/.r''-' -h ...+ aa )'«,

a/ ne peut appartenir à aucun terme dont le degré en x soit plus élevé que {m— i )/*-+-« — £ ou que mn — i (305). Les i premières équations d'identité (il y en a en tout mn-hi ou p-hi) ne contiendront donc pas a/. Quant à la (i-f-i)*"0 équation, elle renferme a, au premier degré; car, dans le développement ci-dessus, il n'y a qu'un seul terme du degré mn — i par rapport à x, et il a pour expression (306)

m a,-.r'ï-'(a0.r'*)'"-i ou wa/aj'-1 .r"*'*-'.

323. 5° Chercher, par la me'thodc des coefficients indéterminés 9 les conditions pour que le polynôme

soit un cube parfait.

La racine cubique, supposée exacte, de ce polynôme est de la forme zqx •+- a,. On posera donc

Ao~t3h- Xi jc* -h AiX-h A3

= (a0jc4-ai)'= aj.r3-h 3ac$at;r*-+- 3<Xoaf x -4- af.

On a, par suite, pour conditions d'identité,

aJ = A0, 3a5a! = Al7 3a0*î = Aj, a} = A,. On déduit des deux premières

a, a, a, vy0

a0 = /Ao et

3a5 3^A{ iAo

La racine cubique du polynôme donné est ainsi a/— Ai v Ao

Les deux autres relations d'identité sont les équations de conditions cherchées. En remplaçant a0 et at par les valeurs précédentes, elles deviennent

Aî^-.\, et A?A<,-\,

c'est-à-dire

A» = 3A„At!

A? = a7AJA3.