Soit un polynôme entier par rapport à x
ki)Xm+- kxxm *-+- As.r'n-8-h. . .-+- Am iJP-h Am>
dans lequel les coefficients A0, A,, Aa, .. ., sont des constantes réelles quelconques, et x la variable dont la valeur du polynôme dépend. Ce polynôme est alors une/onction dex et peut être représenté par Y(x) {Alg. élém., 309).
Si Ton remplace x par x -+- h, h désignant une variation ou un accroissement quelconque de x> il vient
Y (x + h) = A0(x + h)m + A^x + h)'»-* -+- A^x + h)m-* + . . . -^AOT-1(j7H-/i)-i-Am.
On peut alors développer chaque terme du second membre suivant la formule dû binôme (255). On a ainsi
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
-< << Sl- + .+
SI- s
en
ce
ce
ce
en ai
si
0 fa
2J1 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Si l'on considère le second membre de celle relation, on voit que les termes indépendants de h forment le polynôme proposé luim-ême, comme cela doit être, puisque, pour A = o,on doit retrouver ¥(x).
Quant au coefficient de la première puissance de h, c'est ce qu'on appelle le polynôme dérivé ou Xdidérivée du polynôme proposé. On représente la dérivée du polynôme F(j?) à l'aide de la notation F'(.r).
Le polynôme
F/(j?)=zmA0^,"-1H-(m~ï)Al^m-24-(w — 2)AïJ7,w-3-H...-i-Am.1
se déduit du polynôme F(x) suivant une loi très simple : il suffit, pour l'obtenir, de multiplier chaque terme de ce polynôme par l'exposant de x dans ce terme, en diminuant en même temps l'exposant de x d'une unité.
Le premier terme deF'(.r)est ainsi mA0xm-1 et le dernier Am i, car le dernier terme Am de F (x) doit être regardé comme contenant x°.
h} h3 En examinant les coefficients de — > =, . • • , on voit
facilement que chacun d'eux se déduit du précédent suivant
la règle qu'on vient d'énoncer. Il en résulte que le coefficient
h2 de — est la dérivée de F'(x) ou ce qu'on appelle la dérivée
seconde de F(x). Cette seconde dérivée est représentée par
la notation Y"(x). De même, le coefficient de 5 est la
dérivée de ¥"(x) ou la dérivée seconde de ¥'(x) ou la dérivée troisième de F(.r), de sorte que sa notation est Faf(x)m On continuera de la même manière, jusqu'aux derniers termes du second membre de la relation que nous étudions.
Il faut observer, à ce sujet, que, si l'on applique la règle aux deux derniers coefficients (seuls représentés ci-dessous), au lieu de les écrire directement d'après la formule du binôme (235), comme nous l'avons fait, ces coefficients, qui sont ceux de hm~l et de hmy prendront la forme
et
au lieu des expressions indiquées
mA0^+Al et A0.
Pour appliquer partout la môme notation, nous écrirons donc les deux derniers termes du développement comme il suit, en désignant par F^m-l)(x) et par ¥^m)(x) la {m — i)ièmo et la mième dérivée du polynôme F(.r) :
(On fera de même, s'il y a lieu, pour les termes précédents.) Nous aurons finalement
F(j? + A) = F(*)+F'(.r)*-i-Ff(ar) —
L'accroissement pris par le polynôme F (a?), lorsque la variable x subit elle-même V accroissement ou la variation positive ou négative h, a donc pour expression
-HF<w-!>(.r)
-f-F'^Cj?)
325. Il est important de remarquer que, d'une manière générale, lorsqu'on prend les dérivées successives d'un polynôme ¥(x), le degré de chaque dérivée est moindre d'une unité.
Ainsi, le polynôme proposé étant du degré m, sa dérivée première est du degré m — ï, sa dérivée deuxième du degré
De C. — Cours. III. 18
m — 2, sa dérivée troisième du degré /w — 3, etc., sa mièm* dérivée du degré m — m ou zéro.
Cette miime dérivée ne renferme donc plus x, elle se réduit à une constante, et les dérivées suivantes sont nulles ou n'existent pas.
A chaque nouvelle dérivée, il entre un coefficient de moins, parmi les coefficients les plus éloignés du polynôme donné, dans l'expression de la dérivée, et la wlèMe ou dernière dérivée ne contient plus que le coefficient A0 du premier terme du polynôme supposé ordonné suivant les puissances décroissantes de la variable x.
Prenons, par exemple,
il viendra (324)
F' (.r)— Sx3— 2i.r2H-io.r + 3,
F* (X)=Z2^X2 — !\1X -h IO,
¥m (x)— 48x —42, FIV(*) = 48=i.a.3.4.Ia.1
326. Nous terminerons par une remarque qui nous sera utile plus tard.
Dans la formule (i) du n° 324-, permutons x et h, ce qui ne modifiera pas l'expression du premier membre; nous aurons évidemment
■FW{h)
xn
Ce nouveau développement permet de calculer plus rapidement le résultat de la substitution de x -+- h à la place de x dans le polynôme ¥(x).
Cherchons, par exemple, ce que devient le polynôme cidessus (325), 207*— -jx% 4-5 x% -+- 3a? — i, lorsqu'on y remplace x par x -f- 3.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 2~5
Il suffit, d'après la formule (3), de former les différentes dérivées de ce polynôme et d'y faire x ■= 3. On a ainsi, d'après, les résultats précédents (325),
F'(3) — 6o, F"(3) — ioo, ¥'(î)=l02f FIV(3)^48.
On a d'ailleurs
On peut donc écrire, en renversant l'ordre des termes et en tenant compte des dénominateurs,
F(#4-3)~2J?*-hi7#s-f- 5o#1-t-6o.r -f- 26.
Cas de deux variables.
327. Nous devons d'abord donner quelques indications préliminaires.
Considérons un polynôdie entier par rapport à x etày, en désignant ainsi deux variables indépendantes ou deux quantités qui varient d'une manière arbitraire et indépendamment l'une de l'autre.
Ce polynôme entier sera alors une fonction de x et de j, et nous le représenterons par F(x,y).
On peut, dans cette fonction, regarder/ comme constante, et prendre le polynôme dérivé ou la dérivée de la fonction par rapport à la variable x (324). On obtient alors ce qu'on appelle la dérivée partielle de la fonction par rapport à x.
De même, si l'on regarde au contraire x comme constante, et si l'on prend le polynôme dérivé ou la dérivée de la fonction par rapport à la variable y, on obtient ce qu'on appelle la dérivée partielle de la fonction par rapport à ym
On représente ces deux dérivées partielles, qui sont des dérivées premières ou des dérivées du premier ordre, par les notations
Fx{*,y) et F'y(x,f)
ou, plus simplement, par les notations
f; et f;.
L'accent indique l'ordre de la dérivée partielle et, l f indice, la variable indépendante par rapport à laquelle on a pris cette dérivée partielle.
On peut former également les dérivées partielles des pre- , mières dérivées partielles obtenues, qui sont elles-mêmes, en général, des fonctions de x et de y. On trouve ainsi des dérivées partielles qui sont des dérivées secondes ou des dérivées partielles du second ordre de ¥(x, y).
Comme les deux dérivées successives peuvent être prises, soit deux fois par rapport à x, soit une fois par rapport à a: et une lois par rapport à /, soit deux fois par rapport à /, on a, de cette manière, trois dérivées partielles du second ordre représentées par les notations
*x«(^,/), ¥!rtï(x9y)f FJi(j?f >),
ou par les notations
On voit que Tordre de dérivation correspond à l'accentuation de la lettre F et que l'indice de cette lettre indique les variables par rapport auxquelles les dérivées partielles successives ont été prises. I/indice x% ou l'indice y% remplace simplement, par convention, l'indice x,x ou-1'indice y, y.
Si Ton forme encore les dérivées partielles des dérivées partielles du second ordre, on trouve des dérivées partielles du troisième ordre de F(x,y). Les trois dérivées partielles successives pouvant être prises, soit trois fois par rapport à x, soit deux fois par rapport à x et une fois par rapport à y, soit une fois par rapport à x et deux fois par rapport à y, soit trois fois par rapport à r, elles seront représentées par les notations
F':,(x,y), ¥:>,y(x,y), ¥l,Y*{x,y), F;,(jr,>),
ou par les notations
On continuera de la même manière.
328. Lorsqu'il s'agit d'une fonction entière, le degré des dérivées partielles des différents ordres va toujours en diminuant d'une unité (325). On arrive donc nécessairement à des constantes pour les dérivées partielles d'un certain ordre, et toutes les dérivées partielles suivantes sont nulles.
Soit, par exemple, la fonction entière du troisième degré
F(.r-, y) = A0x* 4- kxx-y 4- À, xy* 4- A, y2
