NOTIONS PRÉLIMINAIRES

But de l'Algèbre.

1. En Ariihmélique, nous avons employé des signes partitmliers, ayant une valeur déterminée ; en Algèbre, on emploie des symboles généraux qui peuvent représenter toutes les valeurs possibles.

£n Arithmétique, les signes étant particuliers^ il faut que les raisonnements aient une généralité telle, qu'on puisse en conclure une règle fixe. En Algèbre, les symboles étant généraux, les raisonnements peuvent être particuliers sans nuire à la généralité de la règle à laquelle on est conduit.

En Arithmétique, une question étant résolue, si elle se présente de nouveau avec d'autres données, il faut la résoudre de nouveau, parce que la solution numérique tsi un résultat brut qui ne conserve aucune trace des opérations successivement effectuées. En Algèbre, une question est résolue une fois pour toutes; les symboles employés ne peuvent, comme les nombres, se fondre les uns dans les autres : ceux qui n'influent pas sur le résultat disparaissent seuls, et Ton obtient une /or-

muley c'esl-à-dire une expression algébrique où les opérations à faire sur les quantités données pour en déduire les quantités inconnues sont régulièrement indiquées ('); de sorte que, si la même question se présente avec d'autres données spéciales, il suffit de substituer ces nouvelles valeurs particulières aux symboles généraux dans la formule trouvée. Il faui remarquer, en effet, que le rôle de l'Arithmétique commence où finit celui de l'Algèbre : l'Algèbre trouve les formules, Vjiritlimétique les calcule.

Les symboles employés en Algèbre pour représenter les quantités sont les lettres de l'alphabet ('). On désigne ordinairement par les premières lettres a, 6, c, . . . les quantités connues, et par les dernières x, y, z^.. . les quantités inconnues.

Nous allons rendre sensibles par des exemples les considérations qui précèdent.

2. Proposons-nous cette question : Trouver deux nombres dont la somme soit 1 38 et la différence 24.

La somme du plus grand et du plus petit nombre étant i38, et leur différence étant 24, si l'on ajoute cette somme et cette différence, on aura évidemment le double du plus grand nombre, puisque le plus petit nombre, ajouté et retranché, devra disparaître. Deux fois le plus grand nombre formant le nombre

i38 -h 24 ou 162, ce plus grand nombre est égal à — ou à 81 .

Dèslors le plus petit nombre est représenté pari38 — 8iou 67.

Telle est la résolution du problème au point de vue arithmétique.

On simplifie déjà notablement en représentant le plus grand nombre cherché par x et le plus petit par^-. Les conditions de l'énoncé sont alors exprimées par les égalités

Si on les ajoute membre à membre, on trouve

2 a: = 162, d'où or = 81;

(') Plusieurs des problèmes traités dans le dernier Chapitre de V Arithmétique nous ont déjà conduit à l'emploi àw formules,

(*) C'est le géomètre français Viëtb (i54o) qui a, le premier, représenté les DonibrcK par des lettres.

ALGEBRE ÉLÉMEKTÂIRE, a()7

par suite

Mais ici on a emprunté seulement la forme algébrique : les données seraient autres que i38 et249 on devrait recommencer le calcul. II faut faire un pas de plus» généraliser davantage, arriver à une formule. Pour cela» les données numérique» elles-mêmes sont remplacées par des lettres, la somme donnée est représentée par 5, la différence donnée par //. On a alors

ar -— / = rf.

On en déduit

^x =^s -h a ou X ~ — I —

Ainsi, quelles que soient la somme et la différence données» le plus grand nombre est égal à la demi-somme ^ plus la demidifférence, et le plus petit nombre à la demi^somme moins la demi' différence.

Telle est la résolution du problème au point de vue algébrique.

3. Soit encore la question suivante : Deux fontaines remplissent isolément un bassin, l'une en coulant pendant 3 heures, l'autre en coulant pendant 5 heures; en combien de temps le rempli raient- elles si elles coulaient ensemble?

La première fontaine remplit le bassin en 3 heures; en I heure, elle en remplira ~; la seconde remplit le bassin en

5 heures; en 1 heure, elle en remplira^* Les deux fontaines

coulant ensemble rempliront donc en i heure ^ 4- ^ du bas-

sin, c'est-à-dire -= du bassin. Elles en rempliront -^ en rz

,5 d'heure, elles le rempliront tout entier en ^ d'heure, c'està-dire en i*» ^ ou i^Zi^f&m

29^ ALGEBRE ÉLÉMEKTÀIRE.

Remarquons que le résultat -rr- est l'inverse de la fraction -i«

Si Ton veut obtenir la formule qui correspond à tous les problèmes de même espèce, on représente par a et 6 les temps nécessaires aux deux fontaines coulant seules pour remplir le bassin, par x le temps cherché. L'heure étant toujours prise pour unité et la capacité du bassin représentée par i, la première fontaine remplit en i heure une fraction de cette capacité représentée par - 9 la seconde une fraction représentée par

7* Coulant ensemble, elles remplissent donc en i heure - + ? b a 0

ou - ,- du bassin. Autant de fois i contiendra — ^,— > autant ab ab

il faudra d'heures pour que le bassin soit rempli. On a donc

ab a H- 6

inverse de la fraction — . —

ab

Si l'on veut vérifier la solution numérique précédente, il faut

dans cette formule remplacer a par 3 et 6 par 5. 11 vient

4. En résumé, a l'Algèbre ordinaire, qu'on peut très-bien nommer V arithmétique universelle (à l'exemple de Nkwton), n'est, en effet, autre chose qu'une Arithmétique généralisée, c'est-à-dire étendue des nombres particuliers à des nombres quelconques, et, par conséquent, des opérations actuelles qu'on exécutait à des opérations qu'on ne fait plus qu'indiquer par des signes; de manière que, dans cette première spéculation de l'esprit, on songe moins à obtenir le résultat de ces opérations successives qu'à en tracer le tableau, et à découvrir ainsi des formules générales pour la solution de tous les problèmes du même genre (Poinsot, Réflexions sur la théorie des nombres), »

5. L'usage des formules offre en outre ce précieux avantage, de résumer aussi nettement et aussi simplement que possible les relations qui peuvent exister entre les quantités considé-

ALGEBRE ÉLÉMENTÀIEE. a^g

réeSy de manière à faire apercevoir immédiatement des rapprochements que le raisonnement aurait eu quelquefois peine à découvrir. De plus» si les inconnues et les données se transforment les unes dans les autres, les mêmes formules sont encore applicables, pourvu qu'on y effectue les mêmes transformations.

Ainsi, l'équation du mouvement uniforme étant

si la vitesse devient l'Inconnue, on en déduit

et si le temps à son tour doit être déterminé, la même formule donne encore

Si, dans le second problème traité plus haut (3), on donne le temps nécessaire à la première fontaine coulant seule pour remplir le bassin, ainsi que le temps nécessaire aux deux fontaines coulant ensemble pour remplir le même bassin, et qu'on demande pendant combien d'heures la seconde fontaine doit être ouverte pour produire aussi ce résultat, il suffit, dans la

formule :r= — — . > de regardera comme une quantité donnée

et b comme la quantité inconnue. On en déduit alors sans peine

ax -^ bx=zaby ab — bxz^ax^ {a — x)b=zaxy

et enfin

. ax 0 = — --.

Nous démontrerons plus loin qu'un cercle a pour expression un nombre constant tt, multiplié par le carré R' de son rayon R ; de sorte qu'on peut écrire, pour deux cercles quelconques de rayons R et R',

cercle R = tt X R' et cercle R' = tt X R\

On en déduit à l'instant

cercle R R* cercle ^'""6''*

300 ALGÈBBE ÉLÉMEIVTA.IKE .

Des signes et des expressions algébriques.

6. On indique l'addition et la soustraction par les mêmes signes qu'en Arithmétique.

On indique la multiplication par le signe X ou par un simpin point placé entre les quantités à multiplier; ou mieux encore, ^ on les écrit à la suite Tune de Tautre sans l'interposition d'aucun signe. Ainsi les expressions ay<b, a.b^ ab sont équivalentes.

Quand un produit renferme un facteur numérique, on a soin d'écrire ce facteur le premier, et il prend alors le nom de coefficient. Si Ton a l'expression a. b. 5. c. 7, comme on peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué et les ranger dans l'ordre qu'on veut(-^n7A/n., 66), on remplace 5 et 7 par leur produit 35, et l'expression proposée devient 35 abc. 35 est le coefficient.

Quand une lettre est prise plusieurs fois comme facteur, on ne l'écrit qu'une seule fois en faisant usage de Vexposanl. a'Xa'XaX a s'écrit a*. Cette notation, en apparence de peu d'importance, a eu la plus heureuse influence sur les progrès de l'Algèbre.

Il faut avoir soin de ne pas confondre le coefficient et l'exposant. Le coefficient indique conibien de fois il faut répéter une certaine quantité, et l'exposant à quelle puissance il faut élever cette quantité.

On indique la division en Algèbre comme en Arithmétique.

L'usage des parenthèses est nécessaire, en Algèbre comme en Arithmétique, quand il s'agit de soumettre à de nouvelles opérations des expressions où le calcul qui doit les transformer est lui-même seulement indiqué.

Si Ton veut, par exemple, multiplier a + 6 par c — d,\\ faut écrire

Si l'on veut diviser la différence — ^ —/par la somme a h-/,

on écrit de même *

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIBB. 3oi

Les mois égalité ei inégalité ont le même sens en Arithmé-^ tique et en Algèbre : les signes correspondants sont aussi les mêmes.

Comme nous Tavons déjà dit en Arithmétique, lorsque plusieurs quantités ont» sans être égales, une dépendance corn* mune, une certaine analogie qu'il importe de rappeler, on représente ces quantités par la même lettre affectée d'accents différents : a, a', a", a'*,....

Une racine à extraire est indiquée par les mêmes signes qu'en Arithmétique.

7. Un monôme est une expression algébrique dans laquelle il n'entre aucun signe plus ou moins. Une expression formée de plusieurs monômes réunis entre eux par les signes + ou — constitue ce qu'on appelle un polynôme. Les différents monômes, pris avec le signe qui les précède, sont les termes du polynôme. Les termes précédés du signe + sont dits positifs^ les termes précédés du signe — sont dits négatifs. Un monôme qui n'a pas de signe est censé avoir le signe +. Quand le polynôme ne contient que deux termes, on l'appelle binôme; quand il en contient trois, on l'appelle trinôme.

Les expressions - a^b^c, 19 ^bc sont des monômes.

Les expressions 3«» — 5aA, — h 4 v^«^ sont des binômes.

L'expression 2a h — sjab — 56 est un trinôme.

L'expression a* — 3a*ft h — a'6' — ^ a6* — 26* est un polynôme.

8. Une expression algébrique est dite entière ou fraction^ naire suivant qu'elle ne contient pas ou qu'elle contient des lettres en dénominateurs. Elle est dite rationnelle ou irrationnelle suivant qu'elle ne contient pas ou qu'elle contient des lettres placées sous des radicaux (Àrithm,^ 310).

Par exemple, l'expression -. - est à la fols fractionnaire et rationnelle; l'expression a + yjab est à la fois entière et irrationnelle.

Souvent on ne considère In nature de l'expression que par rapport à l'une des lettres qui y entrent. Ainsi une expression

3oa ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

entière par rapport à x est une expression dans laquelle x n'entre dans aucun dénominateur.

On peut remarquer qu'une expression fractionnaire algébriquement donnera souvent un résultat numérique entier, lorsqu'on y remplacera les lettres par des nombres spéciaux; de même, une expression entière algébriquement donnera souvent un résultat numérique fractionnaire. Il ne faut point perdre de vue que les symboles algébriques doivent pouvoir

représenter toutes les quantités possibles, ^a reste incommensurable, si Ton fait a = a, et devient numériquement commensurable si Ton fait a=:25.

Dans les premiers Chapitres de cette Section, nous ne con* sidérerons que des polynômes entiers et rationnels.

9. On appelle degré d'un monôme la somme des exposants de toutes les lettres qui y entrent: Le monôme 7 a^h^c est un monôme du sixième degré : la lettre c a l'exposant i.

On appelle degré d'un polynôme le degré le plus élevé parmi ceux des termes qui le composent. Le polynôme

20^ b — 3a^ -+- 56' — - 6 est un polynôme du cinquième degré.

Quand tous les termes d'un polynôme sont de même degré, il est dit homogène. Le polynôme la* — Sa'^b -h ^ab* — 6b^ est un polynôme homogène du troisième degré.

Souvent on ne prend le degré que par rapporta une lettre* Le monôme Sà'x^ est du troisième degré en x. Le polynôme 3a*x* — 7.u}x^ 4- 5a r — a* est aussi du troisième degré en x.

Des opérations algébriques.

10. Deux expressions algébriques sont équivalentes^ lorsqu'elles conduisent toujours à des résultats égaux, quelles que soient les valeurs numériques substituées aux lettres identiques qu'elles renferment.

Comme TAIgèbre opère sur des symboles généraux, le cal vid algébrique consiste seulement à remplacer une expression donnée par une autre expression équivalente.

11. Ce n'est que progressivement qu'on peut s'élever à une f;énérallsation complète. Nous devons donc prendre pour point de départies définitions mêmes de l'Arithmétique*

ALGÈBRE ÉLÉMENTÀIHB. 3o3

D'après cela, ajouter ou retrancher les deux expressions algébriques A et B, c'est former une troisième expression telle, que sa valeur numérique reste toujours égale à la somme ouit la différence des valeurs numériques des deux premières, les mêmes lettres étant remplacées par les mêmes nombres quelconques dans les trois expressions.

De même, multiplier ou diviser A par B, c'est former une troisième expression telle, que sa valeur numérique soit toujours égale au produit ou au quotient des valeurs numériques des deux premières, les mêmes lettres étant remplacées par les mêmes nombres quelconques dans les trois expressions.

En Algèbre, comme en Arithmétique, la soustraction est donc l'inverse de Taddition, et la division l'inverse de la muN tiplicaiion.

3o4 ALGEBRE ÉLÉMEK TAIRE.