V. ou o, 167 à
La question est bien indéterminée; car, si nous changions le prix moyen auxiliaire o,43, dont la valeur est arbitraire, nous arriverions à une nouvelle solution.
Règles conjointes. — Arbitrages.
^37. Tout problème dans lequel deux quantités principales sont liées entre elles par une série de rapports connus, qui permettent de les déduire Tune de l'autre, peut se résoudre à Taîde du procédé connu sous le nom de règfe conjointe. Cette règle sert spécialement pour convertir les uns dans les autres les poids et mesures des différents pays, et pour le change de leurs monnaies; dans ce dernier cas, elle prend le nom de règle de change ou d'arbitrage.
Traitons d'abord un exemple :
On demande combien ii^ pieds anglais valent de mètres^ sachant que i6 pieds anglais valent i5 pieds français ^ et que 4 pieds français valent i^^3.
Désignons par a: le nombre de mètres cherché. Nous pourrons, d'après l'énoncé, poser les égalités suivantes :
(1) X mètres = 1 1 3 pieds anglais,
(a) i6 pieds anglais = i5 pieds français,
(3) 4 pieds français = i",3.
Multiplions les deux membres de régalité(i) par i6, et les deux membres de l'égalité (2) par 11 3. Nous aurons
X mètres x 16 = 1 1 3 pieds anglais x ï6 et
16 pieds anglais X ii3=:i5 pieds français X ii3.
Ces deux dernières égalités ayant un membre commun, les
deux autres membres sont égaux, et l'on peut écrire immcdiatemenl
(4) X mètres x i6 = i5 pieds français X 1 13.
En opérant alors sur les égalités (4) et (3) comme on vient d*opérer sur les égalités (i) et (2), on trouve
(5) X mètres X 16 x 4= '^ pieds français X ii3x4 et
(6) 4 pieds français X i5 x 113= i*',3 x i5x ii3. On en déduit
X mètres x 16 x4= ï">3 x i5x îi3,
d'où
i,3x i5 x ii3 ,,„ ^5 X = -r. ; = 34",53.
Le raisonnement qu'on vient de faire permet en réalité de multiplier membre à membre les égalités posées ; on est ainsi conduit à cet énoncé» qui constitue la règle conjointe :
Il faut exprimer y sous forme d'égalités, les relations qui lient les quantités considérées, en ayant soin que le premier membre de chaque égalité soit de même espèce que le second membre de légalité précédente. Le premier membre de la première égalité doit d'ailleurs^ être la quantité inconnue x, et l'on est averti que la règle est écrite lorsqu'on arrive à une dernière égalité dont le second membre est de même espèce que X, En multipliant alors membre à membre toutes ces égalités, on obtient une égalité résultante, d*où Von déduit la valeur de x.
438. Les opérations de change ont pour but d'effectuer des payements û* une place à l'autre, en évitant tout transport de numéraire. Si l'on veut, de Paris, s'acquitter envers un créancier de Londres, il suffii d'acheter d'un banquier de Paris un effet ou une lettre de change sur Londres. Le créancier auquel on l'adresse touche ensuite, chez un banquier de Londres, le montant de cette lettre de change, énoncé en monnaie ou en papier anglais.
On dit que le change est au pair lorsque la somme à payer pour acquitter une dette déterminée reste la même d'une place à l'autre, mais c'est là un cas très-rare. Le papier sur Londres peut cire plus recherché à Paris que le papier sur , Paris ne l'est à Londres : c'est ce qui arrive si la balance du commerce est en faveur de Londres, c'est-à-dire si, à l'instant considéré, la dette de Paris est plus considérable que celle de Londres. Les lettres de change sur Londres augmentent alors de valeur, comme cela a Heu pour toutes les sortes d(' marchandises lorsqu'elles sont plus demandées. Ainsi, dans cette hypothèse, la livre sterling (papier) vaudra à Paris un peu plus de 25'^',2i, résultat qui représente sa valeur intrinsèque ou monétaire, et, inversement, aS'', 21 (papier) vaudront à Londres un peu moins d'une livre sterling.
Le taux du change est exprimé par les quantités de monnaie des différentes places qui, à l'instant considéré, soni équivalentes. En général, le taux du change est réciproque d'une place à l'autre; c'esl-à-d ire, par exemple, qu'une livre sterling représente le même nombre de francs à Londres et à Paris. Mais, par suite de diverses circonstances, cette réciprocité peut ne pas exister.
439. On comprend, par ce qui précède, que les changes des différentes places de commerce, comparées les unes aux autres, subissent des variations et présentent des cours analogues à ceux des effets publics. 11 en résulte que, au lieu d'opérer directement d'une place à l'autre, il peut être plus avantageux pour le débiteur d'employer une place intermédiaire. Donnons, pour terminer, un exemple de ce genre de questions.
Un banquier de Paris doit 2000 marcs-banco à Hambourg. On demande s'il faut qu* il s'acquitte directement ou par l'intermédiaire d'Jmsterdam, sachant qu'au jour de l'échéance et les changes étant réciproques, 190 francs valent 100 marcsbanco de Hambourg, ^o marcs-banco de Hambourg valent 34 florins d'Amsterdam^ et 100 florins d' Amsterdam valent jLil^ francs.
Si l'on opère directement de Paris sur Hambourg, il faut, pour les 2000 marcs-banco, payer 190 x 20 ou 38oo francs. Si l'on prend la voie intermédiaire d'Amsterdam, on pose celte
De C— Cours, 1. 19
290 AniTHMÉTIQUE.
règle conjointe :
X francs = 2000 marcs-banco, 4o marcs-banco = 34 florins, 100 florins == 214 francs,
Cl Ton en déduit
^ X 4o X 100 rrr 214 X 34 X 2000
ou
Le banquier doit donc préférer la voie intermédiaire, dont remploi lui fait économiser 38oo — 3638 ou 162 francs.
440. Nous aurions de nombreuses remarques à ajouter, relativement aux opérations de banque; mais nous sortirions de notre sujet, et nous devons renvoyer sur ce point aux ouvrages spéciaux de comptabilité flnancière. D'ailleurs, pour résoudre tous les problèmes qui se rapportent à ce genre d'opérations, il suffît, en général, de mettre en œuvre les différentes règles exposées successivement dans ce Chapitre.
Méthode des hypothèses.
441. Cette méthode consiste à supposer^ pour valeur de l'inconnue d'un problème, un nombre pris au hasard. En soumettant ce nombre aux conditions de l'énoncé, comme si Ton voulait le vérifier, on arrive, en général, à un résultat qui n'est pas celui qu'on doit obtenir. En examinant alors la différence qui existe entre le résultat inexact et le résultat réel, on peut, dans certains cas, arriver facilement à la valeur de l'inconnue.
On demande , par exemple , de payer 96 francs avec 318 pièces^ les unes de S francs^ les autres de 7. francs.
Faisons une hypothèse arbitraire sur le nombre nécessaire de pièces de 5 francs, et admettons que ce nombre soit égal à j5. Nous aurons alors i5 pièces de 5 francs et i3 pièces de 2 francs, ce qui forme une somme égale à loi francs, résultat inexact par excès.
Mais, pour chaque pièce de 5 francs en moins, c'est-à-dire pour chaque pièce de 5 francs remplacée par une pièce de 2 francs, on diminue le résultat loi de 3 unités. Or, pour
ARITHMÉTIQUE. dpi
passer de loi à 96, résultat exact, il faut diminuer 101 de 6 unités; par conséquent, 11 faut remplacer 2 pièces de 5 francs
I 2 = - j par 2 pièces de 2 francs. On trouve ainsi, comme réponse, i3 pièces de 5 francs et i5 pièces de 2 francs, qui composent bien en effet la somme g5 demandée.
442. Dans le problème précédent, le rapport de la variation de la différence qui existe entre le résultat inexact et le résultat réel à la variation du nombre supposé s'aperçoit immédiatement. Quand la question est moins simple, on fait deux hypothèses successives et arbitraires sur la valeur de Tinconnue, afin d'établir sans peine le rapport dont nous venons de parler. Cest ce que nous allons expliquer sur l'exemple suivant ;
Deux joueurs entrent au jeu avec une même somme. L'un
perd les - de son argent y Vautre les j^ et le premier joueur^
en se retirant^ a i5 francs de plus que le second. On demande la valeur de leur mise commune.
Si les deux joueurs avaient eu 72 francs, en se mettant au jeu, le premier se serait retiré avec 24 francs, et le second avec 18 francs. La différence de ces deux résultats est 6 francs au lieu de i5.
De même, si les deux joueurs avaient eu 120 francs en se mettant au jeu, le premier se serait retiré avec 40 francs, et le second avec 3o francs. La différence de ces deux résultats est 10 francs au lieu de i5.
Ainsi, en faisant croître la mise supposée de 72 à 120, l'erreur commise sur le résultat cherché diminue de 9= i5 — 6 à 5 = i5 — 10.
La première erreur 9 diminuant de 4 unités, quand on augmente la première mise 72 de 43 unités, pour que cette erreur diminue de 9 unités, c'est-à-dire pour qu'elle s'annule, il faut augmenter 72 d'une quantité dont le rapport à 4^ soit
celui de 9 à 4* Cette quantité est donc 48 X ? = 108.
Par suite, les deux joueurs en se mettant au jeu avaient tous deux 180 francs, et il est facile de vériGer que ce nombre satisfait aux conditions de l'énoncé.
apa ARITHMÉTIQL'E.
443. La méihode que nous venons d'exposer esi connue sous le nom de règle de fausse position. Comme on le voil, elle ne peut conduire, en général, à un résullal exact, que s'il V a proportionnalité entre les variations du nombre inconnu remplacé par un nombre supposé, et les variations de Terreur commise par suite des hypothèses arbitraires adoptées.
L'Algèbre résout d'ailleurs sans difHcuUé les problèmes qui dépendent de la règle de fausse position. Si nous en avons parlé en Arithmétique, c'est parce que cette règle peut être employée avec avantage, comme méthode d'approximation ^ dans un très-grand nombre de questions de calcul, notamment dans la recherche des logarithmes et dans la résolution des équations numériques. Nous la retrouverons donc plus lard sous le nonj de rè^le des parties proportionnelles*
FIN DE l'aRTTIIMKTIUI F.
ÀL6ËBRË ËLËMENTAIRË.
