CHAPITRE IL

ADDITION ET SOUSTRACTION

Valeur d*an pol3rnôme.

12. Le calcul algébrique est, en réaliié, le calcul des polynômes. Les principes de ce calcul ont déjà élé énoncés ou établis en Arithmétique. Nous ne rappellerons ici que ceux qui concernent l'addition et la soustraction.

I" i4 jouter ou retrancher une somme, c'est ajouter ou retrancher toutes les parties de cette somme.

2® Jjouter une différence ^ c'est ajouter la partie positive et retrancher la partie négative. Ainsi, ajouter 8 — 3, c'est ajouter 8 et retrancher 3.

3" Retrancher une différence , c'est retrancher la partie positive et ajouter la partie négative {Arithm^y 62). Ainsi, retrancher 8 — 3, c'est retrancher 8 et ajouter 3.

4" Le résultat définitif d'autant d'additions et de soustractions successives qu'on voudra reste indépendant de l'ordre dans lequel on opère.

13. Ce dernier principe exige quelques éclaircissements. Si l'on remplace les lettres qui entrent dans un polynôme

par certains nombres, ce polynôme peut se présenter sous la liirme

La série des opératicttis indiquées peut alors être effectuée directement, et l'on trouve 5 pour la valeur numérique du polynôme.

Mais les mêmes termes affectés des mêmes signes peuvent se succéder dans un ordre tel, qu'on obtienne

ALGÈBRE ÉLÉMCITTAIRE. 3o5

comme expression de la valeur du polynôme correspondant. Si Ton veut alors effectuer le calcul, on est arrêté immédiatement, puisqu'on ne peut retrancher 5 de a (au point de vue arithmétique).

Le principe énoncé supprime celte difficulté en montrant qu* il faut entendre par valeur d*un polynôme V excès de la . somme de ses termes positifs sur la somme de ses termes négatifs.

L'ordre dans lequel les termes du polynôme se succèdent est alors complètement indifférent. On fait séparément la somme des valeurs des termes positifs et celle des valeurs des termes négatifs, et la différence de ces deux sommes est la valeur numérique du polynôme proposé.

Nous supposerons d'ailleurs expressément, jusqu'à nouvel ordre, que cette dernière soustraction peut toujours s'effectuer, c'est-à-dire que la somme des valeurs des termes positifs du polynôme l'emporte sur la somme des valeurs de ses termes négatifs.

Tant que nous maintiendrons cette restriction, les opérations algébriques que nous effectuerons reviendront, en réalité, à de simples opérations arithmétiques.

1&. Puisque la valeur d'un polynôme reste la même, quel que soit Tordre de ses termes, on doit choisir la disposition qui se prête le mieux aux simplifications de calcul.

On est ainsi conduit, dans certains cas, à ordonner les polynômes considérés suivant les puissances d'une certaine lettre ordonnatrice, c'est-à-dire à les écrire de manière que les exposants de cette lettre aillent en croissant ou en décroissant d'un terme au suivant :

Le polynôme Sx*— nx^ -h3x — 7 est ordonné suivant les puissances décroissantes de a:; le polynôme — 7:c-l-j;* — gx'-f-ax* estordonnéaucontrairesuivantles puissances croissantesdex.

Quand un terme ne contient pas la lettre ordonnatrice, il est du degré zéro par rapport à cette lettre' (y/r//Am., 71 ).

Un polynôme est complet quand il contient» par rapport à la lettre ordonnatrice, les termes de tous les degrés depuis zéro jusqu'au degré du polynôme. Un polynôme complet a donc un terme de plus que le nombre qui indique son degré. Un polynôme complet du degré m renferme m h- 1 termes.

Lorsque, dans un polynôme, plusieurs termes renferment

Db C— Cours. I. 20

3o6 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

une même puissance de la letlre ordonnatrice, on écrit ces termes en les ordonnant par rapport à une seconde lettre. On met souvent, dans ce cas, la puissance commune de la lettre ordonnatrice en facteur commun. Si Ton a les termes — 4^*^% -+-5a<x% -4- 3a* X*, on peut les écrire de Tune ou de l'autre des manières suivantes :

Addition.

15. Soit le polynôme a -h 6 -— c-i- rf— «—/. Désignons par A. la somme (a -h 6 -4- rf) de ses termes positifs, par B la somme (c -h e -hf) de ses termes négatifs. Sa valeur, d'après ce qui précède (13), sera représentée par A — B.

Cela posé, si Ton veut ajouter le polynôme qu'on vient de définir a un polynôme quelconque P, le résultat, d'après la définition de l'addition (11), aura pour expression P 4- (A — B.) Ce résultat peut s'écrire, en vertu des deux premiers principes rappelés au n" 12,

P4-(A — B) = Ph- a — B = P-f.aH-6-f-rf— c— e— /

ou, en changeant l'ordre des termes du dernier polynôme, ce qui est permis (13), et en remplaçant la différence (A — Bj par l'expression même du polynôme donné,

P4-(a4-6 — c-+-c/— e — /) = V-^a-hb — c-hd— e — f.

La règle de l'addition est donc la suivante :

Pour ajouter deux polynômes, on écrit le second à la suite du premier en conservant les signes de tous ses termes,

Sonstraction.

16. Supposons qu'on ait à retrancher le même polynôme a-hb — c-^d— e — / du polynôme P- D'après la définition de la soustraction (11) et en employant les mêmes notation^ qu'au numéro précédent, le résultat cherché aura pour expression P — ( A — B). Ce résultat peut s'écrire, en vertu du pre« mler et du troisième principe rappelés au n° 12,

P-(A ^B)==P-A4-B = P-a-6-rf-+-c + <?H-/'

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. Soj

OU, en changeant Tordre des termes du dernier polynôme et en remplaçant la différence (A — B) par le polynôme dont elle représente la valeur,

P '- I fi -h- b —'c -^ ri— e — /) = P — a— b-hc — d-h c-4-/.

La règle de la soustraction est donc la suivante :

Pour soustraire deux polynômes l'un de l'autre, on écrit le second à la suite du premier en changeant les signes de tous ses termes,

17. Il résulte de cette règle que, lorsqu'on veut mettre en parenthèse certains termes d'un polynôme, en faisant précéder cette parenthèse du signe — , il faut avoir soin d'écrire ces termes en changeant leurs signes.

En effet, lorsqu'on effectue la soustraction indiquée en enlevant la parenthèse, ces mêmes signes doivent être changés de nouveau et redeviennent ce qu'ils étaient d'abord.

Rédaction des termes semblables.

18. Des termes qui contiennent les mêmes lettres affectées des mêmes exposants, et qui ne diffèrent que par le signe et par le coefficient, sont dits semblables.

Quand un polynôme renferme des termes semblables, on a soin d*en opérer la réduction pour simplifier l'expression de ce polynôme.

Soit, par exemple, le polynôme

On peut écrire ce polynôme de la manière suivante (13), en rapprochant les termes semblables et en s'appuyant sur la règle de la soustraction ( 17),

(3a»-H2a»)-i-(5fl»6;— 2a»6— a»6)— (3û6»H-5aft'— 7a6«)— (46»-i-36»).

On a évidemment

3a* -h 20» = 5a», Bà'b — na*b — à*b = ^.a^b^ Zab^ -h- Sab*—'] ab^ = a6», 4 6» -+- 3 6» = 7 6»,

et le polynôme proposé prend la forme beaucoup plus simple

3o8 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

Cet exemple suffit pour qu'on puisse énoncer la règle relative à la réduction des termes semblables.

Si les coefficients des termes semblables considérés ont le même signe, on les ajoute, on donne leur sigiie à la somme obtenue, et l'on écrit à la suite la partie littérale commune. Si les coefficients des termes semblables considérés ont des signes différentSy on ajoute séparément les coefficients positifs et né gatifs, on retranche la plus petite somme de la plus grande, on donne au résultat obtenu le signe de la plus grande somme, et Von écrit à la suite la partie littérale commune,

19. Voici deux exemples d'addition et de soustraction. Les polynômes donnés ont été écrits les uns au-dessous des autres, de manière à préparer la réduction des termes semblables placés dans une même colonne verticale.

Polynômes à ajouter

— 3a< -f- Za^b — Sa^b^ -h ^ab* — 26' a* — 2a^b -h 3a^b^ — ab^ -h 56'

3a* — la^b 4- i.a'^b^ — 9.a6' -+- ib^

Polynômes ( 5a* — 3a^b -+- 7 a' 6' — 5ab* — 6* à soustraire j — 3a* -h 3a^b — 8a^6* + ^ab* — 26*

8a* — 6a*6-4-i5a'6» — gaé'-f- 6*

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