A--B)(C-DJ = (A-B)G-(A-B)D

D'ailleurs, d'après le second principe énoneé au n^ 22, on a

(A — B)C = AC-BC, (A-B)Dr=:AD-BD.

Par suite, d'après la règle de la soustraction (16), ( A — Bj (C — D; == AC - BC — AD ^- BD.

Examinons ce produit. Il renferme les produits de A et de B par C et par D. Comme A, B, C, D représentent quatre sommes arithmétiques, on peut dire, d'après le premier principe du n"* 24, que le produit demandé contient les produits partiels de tous les termes du multiplicande par tous ceux du multiplicateur. Il reste maintenant à savoir de quels signes ces produits partiels doivent être affectés.

3ia ALGÈBRE ÉLÉMEKiTAIRE»

AC ei BD étant précédés du sîpne -f-, tous les produits partiels coprespondanis ont le signe +. A et C représenienl l'ensennble des termes du multiplicande et Tensembie des termes du multiplicateur qui ont le signe +, B et D l'ensemble des termes du multiplicande et l'ensemble des termes du multi* plicateur qui ont le signe — .

On peut donc dire que deux termes qui ont le signe -h ou deux termes qui ont le signe — , c'est-à-dire deux termes qui ont le même signe, donnent un produit partiel positif.

BC et AD étant précédés du signe —, tous les produits partiels correspondants ont le signe — . Tous les termes de B sonty dans le multiplicande, précédés du signe — ; tous les termes de C sont, dans le multiplicateur, précédés du signe -h. De même, tous les termes de A sont, dans le multiplicande^ précédés du signe -f-; et tous les termes de D sont, dans le multiplicateur, précédés du signe — .

On peut donc dire q\\*un terme qui a le signe — et un terme qui a le signe -4- ou un terme qui a le signe -+- et un terme qui a le signe — , c'est-à-dire deux termes qui ont des signes différents, donnent un produit partiel négatif.

On est donc conduit à celle règle générale : Pour multiplier deux polynômes, il faut multiplier tous les termes du multiplicande par tous les termes du multiplicateur, en suivant la règle des signes,

Maltiplication des polynômes ordonnés.

26. Dans la pratique, on a soin, quand cela est possible» d'ordonner les deux polynômesà multiplier. On mullipliealors le multiplicande successivement par tous les termes du multiplicateur, et l'on écrit les produits partiels obtenus les uns au-dessous des autres, de manière à favoriser la réduction des termes semblables ( 18).

Exemples :

-f l\Sx* -f- Sox^ — 35 j:* -f- \ox

27 i* -+- 75 j:* — 4^-^^ "~ 109 j:^ h- 6Gjr — 16

ALGEBRE ÉLÉMEKTAIRE. 3l3

3oa* — Sa^b + 20a*/;' + i5a'6'

3o^* — ^7rt«6 -f-Sga»^»— iSa'é'— i3«6^-f-66*

27. Il est Important de remarquer que, lorsque deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances croissantes on décroissantes d'une même leilre, on peut immédiatement indiquer deux termes de leur produit qui ne se réduisent avec aucun autre. Ces deux termes sont ceux qui proviennent du produit des deux premiers termes et du produit des deux derniers termes du mutiiplicande et du multiplicateur. £n elTet, les termes indiqués contenant la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé ou plus faible que tous les autres termes du multiplicande et du multiplicateur, leurs produits contiennent aussi la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé ou plus faible que tous les autres termes du produit cherché. Par conséquent, le premier et le dernier terme de ce produit échappent à toute réduction, puisque aucun terme du produit ne peut leur être semblable. C'est précisément sur cette remarque que repose la théorie de la division des polynômes ordonnés.

28. Lorsque la lettre ordonnatrice entre à une même puissance dans plusieurs termes, la multiplication principale est compliquée de multiplications partielles particulières; mais la marche à suivre est la même.

Soit, par exemple, ù multiplier

[a" — b^)x^-^{à' — '^ab-\-b^)X'h(ab — b^)

par

(fl» -h b^) a;' — (a» — 6») a; — b\

Le plus simple est d'écrire dans une même colonne verticale, avec leurs signes, les termes qui multiplient une mémepuissrnce de x; on trace une barre verticale à droite de ces termes, ei Ton écrit en face du premier la puissance de x qui multiplie toute la colonne.

3l4 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

L'opération demandée présente la disposition suivante

Multiplicande — b"^

Multiplicateur -h a=

X^ A- fl»

— lab b^

ab b^

X^ -1- rt*

^x^ ceb

a: — at'

— la^b

— 2rti'

-h la^b

-r 2tft»

Produit

X* — liceb — 2.ab^