fl»A ^VLa^b ~~ab

a^b \x — ab*

ab* \

Le produit est égal à

— [a}b — Zab^-\

[ia*b — ^a^b^ -\- 2. ab^ ) x^ 2a'b^-h ab*— b')x^ ib')x — {ab*—b'..

Pour obtenir ce produit, on suit la marche que nous allons indiquer. Si l'on posait

M = û'— ^% N=û'— 2fl6 4- &% P = a6 — 6',

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 3l5

le multiplicande prendrait la forme

M.r»-f-Nar-f-P,

et le multiplicateur la forme

Pour effectuer la multiplicalion, on commencerait alors par multiplier Mj?^ par Qx*: le résultat serait MQ:r^. 11 faut donc réellement former d'abord le produit du binôme représonié par M par le binôme représenté par Q, et donner au résultat, comme facteur commun, la 4' puissance de la lettre ordonnatrice. Nx mulliplié par Qx^ donne NQ:c'. Il faut donc multiplier le trinôme N par le binôme Q, et donner au résultat, comme facteur commun, la 3" puissance de la lettre ordonnatrice, etc.

On voit qu'on doit multiplier à part les diverses puissances de la lettre ordonnatrice et à part les polynômes dont elles sont facteurs communs, c'est-à-dire les quantités placées à gauche [des barres verticales au multiplicande et au multiplicateur. On doit écrire les résultats qui correspondent à une même puissance de la lettre ordonnatrice dans une même colonne verticale, à droite de laquelle on place celte puissance de la lettre ordonnatrice. On prépare ainsi la réduction des termes semblables, puisque ces termes ne peuvent correspondre qu'à une même puissance de x. On opère successivement cette réduction en examinant chaque colonne verticale et en posant les termes obtenus au produit définitif, en ayant soin de les ordonner par rapport aux puissances d'une seconde lettre. Dans l'exemple proposé, ces termes ont été ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de a ou croissantes de b.

On n'a pas besoin d'effectuer à part la multiplication des coefficients polynômes des différentes puissances de la lettre ordonnatrice. On écrit Immédiatement les termes trouvés à ta place convenable. Ainsi, pour mu.tiplier le premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur, on multiplie x^ par x* : on obtient x*, qu'on écrit au produit en traçant à gauche une barre verticale. Pour multipliera' — ^' par a* -H 6*, on multiplie a* et 6* par a*, on a les termes a* eia'fr* qu'on écrit à gauche de x*. On multiplie ensuite a} et b*

5lS ALGÈBKE ÉLÉMENTAIRE.

par— &', on a les termes — a*6' el — b\ qu'on écrit aussi à gauche de x*, au-dessous des termes précédents; et le coefficient polynôme de x* se trouve formé, etc.

Produit de plasienn polynômes.

29. Pour multiplier plusieurs polynômes entre eux, il faut multiplier le premier par le second, le résultat obtenu par le troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait employé tous les polynômes.

Les termes du premier produit sont les procfuits deux à deux des termes des deux premiers polynômes. Les termes du second produit sont les produits deux à deux des termes du premier produit et du troisième polynôme, c'est-à-dire que ces termes sont les produits trois à trois des termes des trois premiers polynômes, etc. S'il y a n polynômes facteurs, les termes du produit cherché sont donc les produits n à n des termes des n polynômes proposés, c'est-à-dire que, dans chaque terme de ce produit, il entre comme facteurs un terme du premier polynôme, un terme du second, un terme du troisième,. . ., un terme du /i'**"*.

Le produit de plusieurs polynômes homogènes est un polynôme homogène dont le degré est la somme des degrés des polynômes facteurs.

Théorèmes démontrés par la mnltiplication algébrique.

30. L Le carré d^une somme de deux parties est égal au carré de la première partie, plus le double produit de la première partie par la seconde, plus le carré de la seconde.

Multiplions a -h b par a~h b.

a -hb

a' -h ab

a* -h 9Mb -^b*

On trouve pour prod

uit

a^-+- ^ab-^b\

ALGÈBRE ÉLÉMEKTÀIRE. 3l7

L'identité (a-{- b)^=z a' -t- lab h- b^ est donc démontrée. Le mol identité s\%mï\Q que cette égalité se vérifiera toujours, quelles que soient les valeurs numériques mises à la place de a et de b. On trouve de même

[a — by = a' — lab -h 6'.

Ainsi le carré d'une différence est égal au carré de la première partie, moins le double produit de la première partie par la seconde, plus le carré de la seconde.

Pour avoir le cube de la somme {a -:- b), 11 suffit de multiplier le carré de (a -h 6) par {a-h b).

a^ 4- 2 ab -f b^ a H- 6

a* -4- 2rt*6 -+- ab^

a^b-i- 7.ab^ -h 6»

On trouve ainsi le résultat déjà connu

(a 4- 6)» ^ a» H- Za^b -h 3a6» 4- fr».

On obtient de même

[a — by r= a» — Ba'ft h- 3a6» — 6\

On exprimera facilement ces formules en langage ordinaire.

IL Le produit de la somme de deux quantités par leur dif* férence est égal à la différence des carrés de ces quantités. Multiplions a + 6 par a — b.

a -hi a -b

a* -h ab — ab — 6»

a* — b* Nous avons pour résultat a* — 6% ce qui démontre le théorème.

3l8 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

Puisqu'on a (a -h 6)(« — 6) = «' — 6*, on a réciproquement à}— 6' = (a -h h){a — 6), ce qu'on peut écrire (Jrit/im. ,272}

Ainsi la différence de deux quantités quelconques est égale au produit de la somme des racines carrées de ces quantités par la différence des mêmes racines.

On a

11 i. Partager une quantité donnée en deux parties dont le produit soit le plus grand possible ou maximum. Soit a la quantité donnée. Si l'une de ses parties est

représentée par f - 4- a: | > l'autre le sera nécessairement par «— ( - H- X j» c'est-à-dire par x. Le produit de la somme

- H- ar par la différence - —x est égal à la différence des carrés

-7- — X*. Le produit formé est donc toujours plus petit que -7-»

sauf pour le cas particulier où x est égal à zéro : ce produit atteint alors son maximum, et ses deux facteurs sont égaux à

la même quantité —

Donc, pour que le produit de deux facteurs dont la somme est constante soit le plus grand possible , il faut que ces deux facteurs soient égaux à la moitié de la somme donnée.

IV. Le produit de deux sommes de deux carrés est encore •me somme de deux carrés.

Soit à multiplier (a^ -f- i') par (c' H- rf*). On obtient

fa» -h b^)( c* -f- £p) = d'à' -i- 6'c* + a^d^ H- 6»rf^

On ne change rien à cette identité en ajoutant à son second membre et en en retranchant la même quantité nabcd On peut alors écrire ce second membre comme il suit, en convenant de prendre ensemble, pour le produit 2 a6c^, les signes

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. *6\Q

supérieurs et les signes Inférieurs :

à*c^ ± labcd -f- 6»rf' -t- 6'c' =p ^abcd -4- a»rf*.

Ce second membre revient alors à

( flc ± irf)* -4- ( 6c ip arf)S

et Ton voit que la décomposition indiquée est possible de deux manières.

320 ALGÈBBE ÉLÉMENTAIRE.