DES QUANTITÉS NÉGATIVES

Généralisation des résultats précédents.

31. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé expressément (13) que les valeurs des polynômes donnés étaient des valeurs arilhméliques^ c'est-à-dire représentées par des nombres tels que ceux qu'on considère en Arithmétique. 11 nous reste maintenant à écarter cette restriction, de manière à généraliser les règles que nous venons d'obtenir pour les trois premières opérations algébriques.

A étant la somme des termes positifs d'un polynôme, B la somme de ses termes négatifs, la valeur de ce polynôme (13) est exprimée par la différenre \ — B. Si A est plus grand que B^ il ne se présente aucune difficulté; mais, si A est moindre queB, la soustraction ne peut plus s'effectuer, et l'expression A •— B n'a plus directement aucun sens. On ne peut donc plus faire usage des principes établis en Arithmétique, puisqu'on n'a plus à opérer sur des nombres tels que ceux définis dans cette première Partie des Mathématiques.

11 faut alors remarquer qu'on ne cherche pas, en Algèbre, à effectuer un calcul numérique, mais bien à trouver une formule qui, grâce aux symboles généraux employés, puisse renfermer tous les cas particuliers de la question qu'on se propose de résoudre. Or, en vertu même de cette généralité des symboles adoptés^ la formule correspondant à chaque question ne peut varier. Elle doit rester indépendante des valeurs numériques qu'on pourra ensuite substituer auxlet* très qui la composent. Par conséquent, il suffit de l'obtenir directement, une fois pour toutes, en se plaçant dans telle condition qu'on voudra.

C'est ainsi que, jusqu'à présent, pour l'addition, lasoustrac-

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 321

tion et la mulliplication, nous avons admis que les polynômes donnés avaient pour valeurs des nombres arithmétiques. Nous avons pu de celte manière nous servir de principes connus pour arriver aux formules de ces trois opérations. Ces formules doivent être conservées, lors même que les valeurs des polynômes proposés ne sont plus des nombres arithmétiques, lors même que les opérations effectuées ne présentent plus a priori aucun sens. Nous regarderons donc les règles énoncées aux numéros 15, 16 et 25 comme applicable à tous les ras.

32. En résumé, dans toute question traitée algébriquement, il y a deux choses à distinguer :

I® La formule à laquelle elle conduit; »• La discussion de cette formule.

Pour obtenir la formule demandée, il suffit, comme nous l'avons fait, d'effectuer les calculs nécessaires en s'appuyant sur des principes déjà établis, quelles que soient les restrictions que ces principes puissent imposer momentanément aux valeurs particulières attribuées aux symboles employés.

Pour discuter ensuite la formule trouvée, on remplace les lettres qui y entrent par toutes les valeurs possibles, c'esl-àdire on ne s'impose plus aucune restriction. L'examen des cas qui peuvent alors se présenter conduit, en général, pour la question proposée, à une généralisation non-seulement utile, mais indispensable, puisqu'elle est précisément le but de l'Algèbre. C'est ce que nousaUons vérifier immédiatement pour les trois premières opérations algébriques.

Calcul des quantités négatives.