Il faut déOnir d'abord la valeur d'un polynôme

dans le cas où B l'emporte sur A. Supposons, par exemple, A = i5 et B = 19 = i5 + 4> de sorte que B — A = 4- Si à l'expression

P=i5-(i5-h4) on applique la règle générale de la soustraction (16), ou

DeC. — Cours. \. ^'

irouve

Ce résultat s'appelle encore la valeur du polynôme considéré.

La valeur du polynôme P = (A — B), lorsque B remporte sur A, est donc égale à la différence arithmétique (B — A) précédée du signe—. Cette valeur est ce qu'on appelle un nombre négatif, par opposition aux nombres de l'Arithmétique qui sont des nombres positifs.

Il n'y a pas lieu de chercher à interpréter le résultat auquel nous venons d'être conduit, puisqu'il s'agit d'une simple définition. Nous ferons seulement observer qu'il n'y a pas contradiction entre cette définition et celle de la valeur d'un polynôme, lorsque cette valeur est un nombre positif (13). Dan«« les deux cas, on forme la somme des valeurs des termes positifs, celle des valeurs des termes négatifs, on retranche la plus petite somme de la plus grande, et l'on donne au reste obtenu le signe de la plus grande somme.

34. Le passage de l'Arithmétique à l'Algèbre s'effectue par l'introduction des nombres négatifs.

Une valeur arithmétique ou absolue n'admet aucun signe; une valeur algébrique comporte à la fois une valeur absolue et un signe.

Les règles des n"** 15, 16, 25^ établies pour des valeurs arithmétiques des polynômes considérés, restent applicables, au point de vue de la forme (31), aux valeurs algébriques de ces mêmes polynômes. On doit donc indiquer comment la valeur algébrique du résultat dépend alors des valeurs algébriques des données.

35. Soit à ajouter ou à retrancher les deux polynômes P ei Q dont les valeurs respectives sont (A — B) et (C — D). On a, d'une manière générale (15, 16),

(1) P-f-Qr=(A~B)-4-(C-D) = A-B-hC--D,

Si l'on suppose alors que A et C deviennent nuls par suite des valeurs numériques substituées aux lettres, la formule (i)

ALGEBRE ÉLÉMENTAIHE. 323

donne (15, 17) ♦

(3) (— B)-4-{ — D)=: — B — D = --(B-hD).

La somme de deux nombres négatifs est donc un nombre négatif ayant pour valeur absolue la somme des valeurs absolues des nombres donnés.

Dans les mêmes hypothèses, la formule (?.) donne

(4) (B)-(-D) = -B-hD.

Si l'on a D>B, ce résultai équivaut au nombre positif (D — B); si Ton a D<;B, il équivaut au nombre négatif ~(B-D).

La différence de deux nombres négatifs a donc pour valeur absolue la différence des valeurs absolues des deux nombres donnés, et cette valeur absolue doit être affectée du signe -h ou du signe — y suivant que la valeur absolue du nombre à soustraire est la plus grande ou la plus petite.

On voit en même temps, par les formules (3) et (4)» que:

Ajouter un nombre négatif , c'est retrancher sa valeur absolue,*

Retrancher un nombre négatif , c'est ajouter sa valeur absolue.

L'addition et la soustraction de deux nombres, Tun positif» Tautre négatif, reviennent donc respectivement à une soustraction et a une addition arithmétiques, lorsque le nombre positif est le plus grand des deux en valeur absolue. Ainsi

7 + (-3) = 7-3 = 4, ,(—3jz= 7 + 3=10.

Lorsqu'on a à ajouter à un nombre positif un nombre négatif plus grand en valeur absolue, on obtient un nombre négatif qui a pour valeur absolue la différence des deux valeurs absolues considérées : c'est la déOnition même de la valeur d'un polynôme P = ( A — B ), dans le cas de B > A ( 33).

Enfin l'addition et la soustraction de deux nombres, l'un négatif, l'autre positif, rentrent dans les cas déjà examinés.

36. Ce qui précède conduit à plusieurs conséquences ou généralisations importantes.

Un polynôme est la somme [algébrique) de tous ses termes,

3^4 ALGÈBRE ÉLÉMENTÀIHE.

On peul, en effel/écrire le polynôme a -— ft -+- c — rf comme il suit :

a-f-(— 6)-h c-4-(— rf).

Par suite (15, 16), ajouter ou retrancher un polynôme, c'est ajouter ou retrancher (algébriquement) tous ses ternies,

37. Soient à multiplier les deux polynômes P etQ, dont les valeurs respectives sont ( A — B) et (C — D). On a, d'une manière générale (25),

(i) PQ = (A~B)(G — D)=AC-BC- A1)H-IJD.

Si Ton suppose que, d'après les valeurs numériques substituées aux lettres, on ail successivement B=o et C=o, A=o et D = o, A = o et C = o, la formule (i) donne