A)(-D) = -AD, (-B)( C) = -BC, (-B)(-D) = +BD

On voit donc que le produit d'un nombre positif ou négatij par un nombre négatif ou positif est un nombre négatif dont la valeur absolue est le produit des valeurs absolues des nombres donnés, et que le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif égal au produit des valeurs absolues des nombres donnés.

38. On déduil de ce que nous venons de dire plusieurs conséquences ou généralisations importantes.

Le produit de deux polynômes est la somme algébrique (36) des produits (algébriques) de tous les termes du multiplicande multipliés par tous les termes du multiplicateur. L'ordre des facteurs est donc indifférent.

Quand, dans un produit de deux facteurs, on change le signe de Vun des facteurs, on change le signe du produit.

Quand, dans un produit de deux facteurs, on change à la fois les signes des deux facteurs, le signe du produit n'est pas modifié.

Le produit d'un nombre quelconque de facteurs négatifs est positif ou négatif, suivant que le nombre des facteurs considérés est pair ou impair. En effet, le produit de 2» facteurs . négatifs revient à n produits partiels composés chacun de I

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 325

deux facteurs négaiife; ces n produits seront donc tous positifs, ainsi que le résultat obtenu en les multipliant entre eux. Ce résultat étant multiplié par un nouveau facteur négatif, c'est-à-dire le nombre des facteurs négatifs devenant Impair, lesigne*du produit changera et deviendra négatif.

Ce qui précède s'applique évidemment aux puissances paires ou impaires d'un nombre négatif. Par conséquent, si, dans une expression algébrique^ le signe d'une lettre vient à être modifié y les termes qui la contiennent à une puissance paire conservent leurs signes, tandis que les termes qui la contiennent à une puissance impaire doivent en changer. Ainsi, de la formule

{a -f- 6)* = a' -+- 2rt6 -f- 6%

on déduit immédiatement (30)

(a— by= a*— nab -h 6^

39. Cette remarque nous conduit naturellement à une dernière généralisation essentielle.

Les opérations sur les nombres négatifs étant définies, nous pourrons remplacer directement les lettres qui composent une formule, soit par des nombres positifs, soit par des nombres négatifs.

La discussion des problèmes nous montrera l'utilité et même la nécessité de pareilles substitutions. Nous verrons alors comment l'apparition des quantités négatives dépend de la manière dont on pose la question. Nous croyons devoir en donner dès à présent un exemple très-simple.

a Si, pour compter une somme d'argent, on adopte pour unité le franc matériel, on pourra opérer des diminutions successives sur celte somme, et la réduire à zéro par la soustraction d'un certain nombre de francs. Arrivé à ce terme, on voit que la soustraction cesse d'être praticable, et que, par conséquent, — i franc, — - a francs,. . . sont des quantités imaginaires.

» Prenons maintenant le franc de compte pour unité, à dessein d'évaluer la fortune d'un individu, laquelle se compose de valeurs actives et de valeurs passives. Ce que nous appelons diminution dans cette fortune pourra avoir lieu, soit par le retranchement d'un nombre de francs à l'actif, soit par l'addition d'un nombre de francs au passif; et, en poussant

3 '2 6 ALGEBRE ÉLÉMENT AIKE .

à un certain terme cette diminution par l'un de ces deux moyens, on parviendra à une fortune négative, telle que — loo francs, — 200 francs,.... Ces expressions signifient que le nombre de francs des valeurs passives, considéré abstraitement, est plus grand de 100, de 200,... que celui des valeurs actives. Ainsi — 100 francs, —200 francs,..., qui n'exprimaient dans le premier cas que des quantités imaginaireSy représentent ici des quantités aussi réelles que celles que désignent les expressions positives (R. Argand, Essai sur

une manière fie représenter les quantités imagîvaires), jo