CHAPITRE V

DIVISION

Définitions.

ko. La division est Topéralion inverse de la multiplication (11). Elle a pour but, étant donnés un produit de deux facteurs et l'un de ces facteurs, de trouver l'autre; mais, d'après le Chapitre précédent, il est inutile de distinguer les différents cas qui peuvent se présenter, et l'on doit immédiatement généraliser la défmition empruntée à l'Aritlimétique.

Nous dirons donc que la division a pour but, étant données deux expressions algébriques, l'une appelée dividende, Vautre appelée diviseur, d'en déduire une troisième expression algébrique appelée quotient, qui, multipliant le diviseur , reproduise le dividende en valeur absolue et en sisTie.

Si l'on désigne par A, B, Q les valeurs absolues du dividende, du diviseur et du quotient, les relations suivantes montrent comment, d'après cette définition, le signe du quotient dépend des signes du dividende et du diviseur :

Le quotient de deux quantités algébriques est donc positij ou négatif, suivant que ces deux quantités sont de même signe ou de signes contraires. Cet énoncé n'est que la conséquence de la règle des signes (37).

Division des monômes.

M. Soit le monôme M à diviser par le monôme P; désignons par Q le quotient. Ce quotient ne peut être qu'un monôme, puisque le produit d'un polynôme par un monôme est nécessairement un polynôme (23). Si l'on suppose la division

328 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

exacte» on doil avoir (M)

En se reportant à la règle de multiplication des monômes (21 ), on voit que le coefficient du dividende est égal au produit du coefficient du diviseur par le coefficient du quotient. Réciproquement, le coefficient du quotient s'obtient en divisant le coefficient du dividende par celui du diviseur.

L'exposant d'une lettre quelconque du dividende doit être égal à la somme des exposants dont elle est affectée dans le diviseur et le quotient. Réciproquement, l'exposant dont une lettre commune au dividende et au diviseur est affectée au quotient doit être égal à la différence des exposants de cette même lettre au dividende et au diviseur.

Si une lettre entre avec le même exposant dans le dividende et le diviseur, elle ne peut entrer au quotient, sans quoi son exposant dans le dividende surpasserait celui qu'elle a au diviseur.

Si une lettre entre dans le dividende sans entrer dans le diviseur, elle provient seulement du quotient, et elle y entre delà même manière qu'au dividende.

On obtient donc le quotient de deux monômes entiers en écrivant, à la suite du quotient des coefficients du dividende et du diviseur, les lettres qui leur sont communes avec un exposant égal à la différence de leurs exposants, sauf le cas où cette différence est zéro, et les lettres qui entrent seulement au dividende sans modifier leurs exposants.

Soit à diviser 35a*6*c'rf par 'jabc\ On trouve

35«'6«c'rf ^ ,. , — - ;— =5a^b*d.

')abc*

42. Si Ton applique la règle, sans se préoccuper de l'égalité des exposants d'une même lettre au dividende et au diviseur,

on a

']ab(^

= Sa'b'c^d.

Si l'on veut alors que les deux expressions du quotient soient équivalentes, il faut faire la convention suivante :

Une quantité quelconque, affectée d'un exposant égal à zéro, représente r unité.

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. « 32Q

Celle convention esi louie naturelle, puisque l'exposant zéro correspond à la division de deux quantités égales Tune par l'autre {Àrithm,, 74).

Quand un terme ne contient pas une lettre, on peut dire qu'elle y entre avec l'exposant zéro. Cette remarque permet de simplifier les énoncés des règles relatives à la multiplication (21) et à la division des monômes.

Pour multiplier deux monômes^ il suffit de multiplier les coefficients et d* ajouter les exposants des lettres communes.

Pour diviser deux monômes, il suffit de diviser les coefficients et de soustraire les exposants des lettres communes,

43. On regarde la division comme possible, lors même que les coefficients ne sont pas divisibles l'un par l'autre. On a un coefficient fractionnaire, mais le quotient reste entier algébriquement. Ainsi

——- = 5 abc.

La division n'est impossible que dans le cas où une lettre entre dans le diviseur sans entrer dans le dividende ou lors* qu'elle entre dans le diviseur avec un exposant plus élevé que celui qu'elle a dans le dividende. II n'existe afors aucun monôme entier algébriquement qui, multipliant le diviseur, reproduise le dividende.

On ne peut diviser 5a'6* par 3a*6'c. On peut seulement simplifier, comme nous le verrons plus tard, l'expression 5a^b^ 3a*b^c'

Si l'on veut appliquer la règle, on trouve

de même

Cette extension donne naissance aux exposants négatifs: nous y reviendrons plus loin.

'i'io « ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Division d'nn polynôme par un monôme.

kk. Lorsqu'on divise un polynôme par lin monôme, le quotient est polynôme, puisque le produit d'un monôme par uu monôme est un monôme. En multipliant le polynôme quotient par le monôme diviseur, on doit reproduire identiquement le polynôme dividende ; cette multiplication s'opère en multipliant par le diviseur les différents termes du quotient, et Ton obtient ainsi sans réduction les termes du dividende (23). Réciproquement, pour avoir le quotient^ il faut donc diviser successivement les termes du dividende par le monôme diviseur. On rentre, par conséquent, dans le cas qu'on vient d'examiner.

On trouve, d'après cela et d'après la règle des signes (40),

2/ia^b^c*'hâoa*b*c* — i6a*b^c^ ^ . ,, , ,,, ,

On peut donc écrire

!i^a*b*c*-+- ^oa*b*c*—i6a*b^c*

= 4a»6*c»X (6a'6c' -f- loaft^c»— 46»r").

Le diviseur ^a^b^c* divisant exactement tous les termes du dividende est dit facteur commun à tous ses termes; pour mettre ce facteur commun en évidence, il faut précisément effectuer la division du polynôme proposé par ce même facteur. La mise en évidence des facteurs communs est très-importante au point de vue du calcul.

Division des polynômes ordonnés.

45. Généralement, quand on a deux polynômes A et B à diviser l'un par l'autre, on ne peut qu'indiquer l'opération

sous forme fractionnaire rjr •

Quelquefois, cependant, on peut remplacer l'expression

fractionnaire |^ par un polynôme Q, entier par rapport à la

lettre suivant laquelle les deux polynômes A et B sont sup*

ALGEBRE ÉLÉMEKTAIRE. 33 I

posés ordonnés. C'est la recherche de ce polynôme Q que nous nous proposons.

Pour Gxer les idées, nous admettrons que les trois polynômes considérés sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre.

Puisqu'on a, dans le cas examiné, ^=iQ^ on a aussi

A = B X Q. Le dividende est donc alors le produit exact du diviseur par le quotient. Puisqu'il s'agit de polynômes ordonnés, le premier terme du dividende provient sans réduction du produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient; de même, le dernier terme du dividende est égal au produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient (27). On a donc ce premier théorème :

On obtient le premier terme du quotient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

Cela posé, le dividende représente la somme des produits partiels du diviseur par les différents termes du quotient; si l'on retranche du dividende le produit du diviseur par le premier terme trouvé au quotient, le reste obtenu, ordonné comme le dividende et le diviseur, représente donc la somme des produits partiels du diviseur par les autres termes du quotient. On est ainsi conduit à une nouvelle division, dans laquelle on doit prendre ce reste pour dividende en conservant le même diviseur. On a donc ce second théorème :

Si l'on retranche du dividende le produit du diviseur par le premier terme du quotient, le reste obtenu, divisé par le diviseur, donne l'ensemble des autres termes du quotient.

Par conséquent, en continuant l'opération, on divise le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, et l'on a le second terme du quotient. On multiplie le diviseur par ce terme, on retranche le produit obtenu du premier reste, et l'on opère sur le second reste auquel on est conduit comme sur le premier. Le dernier terme du quotient correspond à un reste nul, car on a retranché alors du dividende toutes les parties qui le composent.

Ainsi, quand la division est exacte, on arrive forcément à un reste nul, qui indique que le quotient est complet; et, quand on arrive à un reste nul, la division est exacte, puisque le polynôme dividende représente le produit du polynôme diviseur par le polynôme écrit au quotient.