Soit à diviser le polynôme

2'jx^-h '•jSx*— 43 Jc* — ioga;^-\- 66x — 16

par le polynôme

Qx*-\- loar* — 'jx -+■ 2

On dispose l'opération de la manière suivante :

9^'H-io:r'

27 x^ -f- 75x* — 43^' — 1 09 jc' -♦- 66:1; — 1 6 — 3ox*-h2ix^ — 6^*

— 5ox^-h 35x^ — 10:1;

— 'jzx^ — 8oic'-f-56a: — 16 80^* — 56^7 -f- 16

— 'JX-^2

On fait à la fois la multiplication et la soustraction qui correspondent à chaque terme du quotient, en changeant immédiatement les signes des produits partiels obtenus et en les écrivant au-dessous des différents dividendes, de manière à préparer la réduction des termes semblables. Comme le premier terme de chaque dividende doit toujours disparaître dans la soustraction, puisqu'il est égal au premier terme du diviseur multiplié par le terme considéré au quotient, on néglige d'écrire le produit partiel qui le détruit, et l'on ne commence la multiplication qu'au second terme du diviseur. Soit encore à diviser le polynôme

3oa*~ 47a<6-h39a'6»— i5a»6»— i3a6«-f-66»

par le polynôme

6a>— a'6-f-4rtô»H-36^

3o/ï*— 47a*6 r- 3c)a'b*— i5a'6^— i3a6*-*- 66^ -4 5a^b — Ttoa^b^— iSa^b*

.- 42^*6 H- i9a=»6^ — 3o«'/>'^— i3a6«-i-66* — 7a3 6a|-:)8<7^6'-f-2iû/>«

n^b-h fab*

']ab -f- 26*

47. II peut arriver, comme pour la muliiplication, que la leltre ordonnatrice entre à une même puissance dans plusieurs termes du dividende et du diviseur. On suit alors une marche analogue à celle déjà indiquée (28), et la division principale se trouve seulement compliquée de divisions partielles. Il faut remarquer qu'on ne doit opérer la réduction des termes semblables que dans les colonnes verticales qui correspondent aux premiers termes des restes successifs; car il suffit de connaître le premier terme du reste auquel on est parvenu pour pouvoir continuer la division. On peut aussi opérer de la même manière dans les divisions ordinaires.

Soit à diviser le polynôme

— {a'b — 3a6« -\-!ib')x — {ab^— b* )

par le polynôme

L'opération présente la disposition suivante :

X*— 2fl'é

lab*

— ab* b* a'b^

— ia?b 2ab* a'b'

-\-3ab^

— ab*

ab' b* ab^ 6*

x-h ab

Première division partielle.

Deuxième division parlielle.

— ia?b -h a» 6*— 2a6»-h b^

Troisième division partielle.

a^b^a^b^-^-ab^ b*

--ab^

48. Le diviseur peut ne pas contenir la lettre ordonnatrice choisie, de sorte que, si on ]a désigne par ar, le dividende a la forme A:c"-hBj;""'-4- C:p'"~*-I-. . ., et le diviseur la forme M,

M et les coefficients A, B, C,... doivent être ensemble polynômes. Si M est un monôme, A^B, C,. . . sont monômes ou polynômes. On est ramené alors à suivre la marclie indiquée au n® 44. L'opération se compose de divisions partielles.

Des divisions impossibles.

49. On peut souvent prévoir Timpossibilité d'une division. Par exemple, si le diviseur contient une lettre qui n'entre pas dans le dividende, la division ne peut conduire à un reste nul. Nous ne considérons, en effet, que des polynômes entiers algébriquement.

Lorsqu'on n'aperçoit pas d'impossibilité immédiate, on peut tenter la division. Il est donc essentiel d'indiquer des caractères auxquels on puisse reconnaître qu'elle est réellement impossible; car, dans certains cas, elle peut se poursuivre indéfiniment.

C'est ce qui n'a jamais lieu quand on ordonne les polynômes proposés suivant les puissances décroissantes de la lettre ordonnatrice. Les degrés des restes successifs par rap-

port à celle lettre vont alors constamment en diminuant. Il arrive donc un moment où le reste obtenu est, à la fois, différent de zéro et de degré inférieur au diviseur par rapport à la lettre ordonnatrice, de sorte que l'opération se trouve interrompue et son impossibilité démontrée.

Si les polynômes donnés sont, au contraire, ordonnés suivant les puissances croissantes de la lettre ordonnatrice, les degrés des restes successifs par rapport à cette lettre vont constamment en augmentant; et, si le premier terme de chaque reste est exactement divisible par le premier terme du diviseur, on peut être conduit à des calculs illimités.

Mais on remarque que, lorsque la division est exacte, le dornier terme du dividende divisé par le dernier terme du diviseur donne directement le dernier terme du quotient (45),

Par conséquent, quelle que soit la manière dont on ait ordonné les polynômes sur lesquels on opère, on peutafHrmer rimpossibililé de la division dans les hypothèses suivantes.

La division est impossible :

i* Lorsque, le dernier terme du dividende nest pas divisible par le dernier terme du diviseur.

Le polynôme 4 — 8jch- 20:*— 2ij;* n'est pas divisible par le polynôme i — 7,x -h 3x' — 7^*,

Nous remarquerons à ce sujet que, si le premier terme du diviseur a pour coefficient Tunité, aucun coefficient fractionnaire ne peut s'introduire dans le calcul; de sorte que, si le dernier terme du dividende et le dernier terme du diviseur sont des nombres entiers dont le quotient soit fractionnaire, on peut affirmer a priori l'impossibilité de la division.

Le polynôme 4-^'— 5a:* -f- ^x — ^ n'est pas divisible par le polynôme a;'— 2a? — 7, parce que le dernier terme du quotient devrait être égal à -•

2" Lorsque^ le dernier terme du dividende étant divisible par

le dernier terme du diviseur, on est conduit à poser au quo^ tient un terme de même degré par rapport à la lettre ordon-natrice, mais différent de celui qui devrait être le dernier.

Le polynôme &x* — 3^-h 20;'— 5a; -f-4 n'est pas divisible par le polynôme 3a:*-- 3a;' -f- a;— 2, parce que la division conduit à poser au quotient comme terme de degré zéro par rapporta la lettre ordonnatrice le terme -f-!,au lieu du terme —2, quotient du dernier terme 4 <)ti dividende par le dernier terme

336 ALGEBUE ÉLÉMENTAIRE.

— 2 du diviseur :

6jr'— 3^*-i- 20;'— 5a; -4-4 I 3^*— 3^'-+- ^ — a

. Z 1 2ar-l-i

H- 3 jr' — :r -f- 2

3® Lorsque, le dernier terme du dividende étant divisible par te dernier terme du diviseur, ori est conduit à poser au quotient un terme identique à celui qu'on doit trouver comme le dernier, sans que le reste correspondant soit nul.

Le polynôme 5 — ^x -+- 16^' — gx* n'esl pas divisible parle polynôme i — x — 3x^, parce que la division conduit à poser au quoiienl le terme -f- 3a?, résultat de la division du dernier terme — gx' du dividende par le dernier terme — 3x^ du diviseur, sans que l'opération s'achève :

5 — IX M- i6j;' — 9^:' H- 5^ -h i5x^

-{- 3x -¥- 3ix* — 9^*

50. Supposons les polynômes considérés ordonnés suivant les puissances décroissantes de la lettre ordonnatrice.

Quand la division n'est pas possible et que le premier terme du dividende A est divisible par le premier terme du diviseurBy

on peut remplacer l'expression fractionnaire r^ par un poly^

nôme Q entier par rapport à la lettre ordonnatrice, augmenté d'une fraction ayant pour numérateur un polynôme de degré inférieur au diviseur par rapport à cette lettre et pour déno* minuteur le diviseur.

En effet, on peut toujours continuer la division jusqu'à ce qu'on arrive à un reste dont le premier terme ne soit plus divisible par le premier terme du diviseur, c'est-à-dire jusqu'à ce qu'on arrive à un reste dont le premier terme ne contienne plus la lettre ordonnatrice avec un exposant aussi élevé que le premier terme du diviseur. Désignons ce reste par R : on aura nécessairement R^A — BQ, Q désignant le polynôme

écrit au quotient au moment oii l'on obtient le reste K. On déduit de l'égalité indiquée

A = BQ-4-R;

et, en divisant les deux membres de cette dernière relation par By il vient

En divisant 6 j;*— 3a:* -H 2 j;» — 5x-h^ par 3x^ — 3:c*-4-:c — 2, on trouve pour quotient (W) le binôme 2x -+- i et pour reste le trinôme 3a;' — 2x H- 6. On peut alors poser

51. Quand la division est exacte, on peut changer la lettre ordonnatrice sans rien changer aux résultats de l'opération. Quand la division est inexacte, si Ton change de lettre ordonnatrice, on modifie généralement l'expression du quotient et celle du reste.

Condition de divisibilité d'nn polynôme entier par rapport à x,

par un binôme de la fonne x — a.

52. Désignons par X le polynôme dividende ordonné suivant les puissances décroissantes dex. Le diviseur x — a étant du premier degré en x, la division pourra continuer tant que le reste obtenu contiendra x. Le reste final de l'opération, s'il y en a un, sera donc nécessairement indépendant de x, c'està-dire ne contiendra pas x. Désignons par Q le quotient trouvé entier par rapport à Xy et par R le dernier reste, s'il y en a un. On aura l'égalité fondamentale qui résulte de toute division ( 50)

11 faut bien comprendre que cette égalité est en même temps une identité^ c'est-à-dire qu'elle reste vraie, quelles que soieni les valeurs particulières attribuées aux lettres qui y entrent. Elle subsiste donc encore quand on y remplace x par la valeur spéciale a.

Désignons par X. le résultat de la substitution de a à la place

Db C. — Conn, I. 22

de X dans le dividende ; remarquons que le fadeur x — a, devenant égal à a — a, s'annule, tandis que l'autre facteur Q qui ne contient pas x en dénominateur prend une valeur finie ou égale à zéro; dans les deux cas, le produit (^-~ a)Q disparaît. Quant au reste R, qui ne contient pas x^ il ne change pas. On a donc identiquement

ce qui nous conduit à ce théorème très-important : Quand on divise un polynôme entier par rapport à x par un binôme de la forme x — a, on obtient immédiatement le reste de la division en remplaçant dans le dividende la lettre x par la lettre a.

On peut donc, a priori, s'assurer de la possibilité de la division.

Si la substitution indiquée conduit à un résultat nul, on a R = o, et la division réussit.

Réciproquement, si la division réussit, R = o, et la substitution indiquée conduit à un résultat nul.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme entier par rapport à x soit divisible par un binôme de la forme X — a est donc que ce polynôme s'annule pour x = a.

53. Déterminons la loi de formation du quotient du poly-uôme X par le binôme x — a.

En établissant cette loi, nous donnerons une nouvelle démonstration du théorème précédent.

Le polynôme X a pour forme générale (14)

X = A.ar'"-|-A,a:™-»-l- Aaar"-'-h.. .-h A„.,a:-4- A„.

En opérant par colonnes verticales (47), sa division par x — a présente évidemment la disposition suivante :

A.^"-hA,

jr"-'H-...-hA^

-hA.a

-+-A,fl"-'

-hA,tf™-'

En commençant la division, on aperçoit facilement comment les premiers termes du quotient se déduisent les uns des autres. On en conclut aiors immédiatement que, le dividende étant un polynôme du degré m, le quotient est un polynôme complet (14) du degré (m — i ), dont les coefficients se forment successivement en multipliant le coefficient du terme précédent par a, et en ajoutant au produit obtenu le coefficient du terme du dividende qui est de même rang que le terme qu'on veut écrire au quotient.

Le dernier terme du quotient est donc

A.rt*"-» H- A , AT"» -h A, ar-* H- ... -h Am^^a -f- A«,-„

et, par suite, le reste de ia division a pour expression

A.rf"-4- A,a"^' -f- AiOr—*-^-. . .4- Aa,-irt -f- A», •

c'est-à-dire Xa, comme nous venons de le démontrer par une autre voie (52).

Si l'on éprouvait quelque difficulté à admettre la généralité de la loi énoncée, on emploierait un tour de raisonnement très-usité et déjà indiqué en Arithmétique [Arithm.^ 325).

Si Ton suppose la loi vérifiée pour les n premiers termes du quotient, il est facile de voir qu'elle s'étend nécessairement au (/n- 1)"™' terme. Car, si Pj:*^" est le n'^^ terme du quotient, le premier terme du reste correspondant est

de sorte que le (/i-4-i)''*"* terme du quotient est

(Prt-h A„)a:"-'-'.

f^ loi, avant été reconnue pour le deuxième et le troisième terme du quotient, est donc vraie pour le quatrième, et ainsi de suite jusqu'au dernier terme.

54. Nous allons appliquer les résultats précédents à la recherche de certains caractères de divisibilité , essentiels à retenir au point de vue du calcul.

i" JE* — ff"est toujours dwisible par x — «, quel <fuc soit l^ entier /«, En effet, en désignant par R le reste de la division de af^—cT' par i — fl, on a ici (52)

R z:z ff* «"— O.

Quant au quotient, nous l'obtiendrons en appliquant la loi qu'on vient

34o ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

de démontrer, et en remarquant qu'au dividende tous les termes compris entre les deux termes extrêmes ont zéro pour coefficient. On a ainsi iro* médiatement

On peut remarquer que ce quotient est homogène (9) en a: et on a. 2° o:^ H- «" n'est jamais divisible purx — a* En efTet, on a, dans ce cas,

On pourra donc seulement écrire (SO)

3» x" — «* n'est divisible par x -i- a que si m est pair.

Le théorème du n° 52 exige simplement que le second terme du diviseur binôme soit précédé du signe — , sans aucune hypothèse sur la valeur de* ce second terme. Nous pouvons donc mettre le diviseur x-^-a sous h< formOiT— ( — a)et appliquer les mêmes règles. Le reste de la division de j:^ — a" par x — ( — o) est alors

R= ( — a)*»— fl".

Ce reste n'est donc nulque pour ( — a)" = a^, c'est-à-dire dans le cas de m pair (38).

Pour avoir le quotient de la division indiquée, nous remarquerons que l'expression

= jc^-' ■+- ax^^ ■+■ d^x^'* -+-... -h (f'^x ■+- «*"'

est vraie, quelle que soit la valeur (positive ou négative) mise à la place de a; elle subsiste donc quand on remplace a par —a. Il vient alors, puisque m est pair (38),

— — — = x"-' — ax^-^ H- à'x^"^ — ... H- a'"-' X — a"'"*. x-i~ a

Si m était impair, le reste de la division serait — 2«", et l'on aurait

T""» rj"* ^ a"*

x-i-a X -ha

êl* 3f*-^(f* n'est divisible par x -ha que si m est impair.

Le diviseur étant ramené à la forme x — (— «j, le reste R de la divi-

sion qu'on veut effectuer est ( — «)"h- ff\ Ce reste n'est donc nul que pour (— fl)" = — fl", c'est-à-dire dans le cas de m impair.

Si, dans l'expression de la division de jc*— «"* par x — a, on change a on — a en supposant m impair, on obtient précisément le quotient demandé. On a donc

X"* -4- fl"*

X -^ a Si /// était pair, le reste de la division serait 2^, et l'on aurait

51^ jf* — a** ri est divisible par xP — aP que si m est un multiple de p. En efîet, en effectuant la division, on voit que, dans le premier terme de chaque reste, la somme des exposants de or et de a est toujours w, parce qu'en passant d'un reste au suivant l'exposant de a croît toujours de p, tandis que celui de x décroit de la môme quantité. Si l'on a m = fip-{- r, la division devient impossible au moment où l'on parvient au reste ff'af — a". Pour que la division soit possible exactement, il faut et il suffit que ce reste soit nul ; ce qui entraîne la condition r = o, c'est-àdire /w = kp.

Quanta la loi de formation du quotient, on remarque que, dans chaque terme, la somme des exposants reste égale h m — p et que, lorsqu'on passe d'un terme au suivant, Texposant de x diminue de p^ tandis que celui de n croit de p. Quand la division est possible, on a donc

JT — fl*'

On modifie facilement cette expression lorsque le reste n'est pas nul, et Ton étudie de la même manière les autres cas analogvies à celui qu'on vient de considérer.

D'après les expressions générales qu'on vient de démontrer, on peut écrire immédiatement

— X* -f- X* -h j?* -^ jr* -I- x^ -h J7 -:- I ,

— X* — X*-HX* — X*-i-X* — X -+- î,

55. On peut généraliser, comme il suit» le théorème fondamental du n® 52.

34a ALGÈBRE ÉL'ÉME^TÀIHE.

Si un poljrnômey entier par rapport à x^ s'annule lorsqu'on remplace successivement x par des quantités différentes a et é, ce polynôme est divisible par le produit des binômes x — a et X — b.

En efiFet, le pohnôme X s'annulant pour x=^a esi, d'après ce qui précède (52), divisible par x — a.En désîgnani par Q le quotient de X par jt — a, on peut donc écrire

Cette égalité subsiste quel que soit ^; elle reste vraie si Ton y remplace x par 6. On a alors

Nous indiquons par X^ et Qà les résultais de la substitution de 6 à la place de x dans les polynômes X et Q. Par hypothèse, X^ est égal à zéro, et ^ — - a est différent de zéro. Il faut donc qu'on ait Q^ = o ou que le quotient Q soit divisible par x — b. Désignons par q le quotient de Q par a:— 6. On a Q := {x — b)q et, par suite,

ce qui vérifie le théorème énoncé et prouve en même temps qu'il s'applique à un nombre quelconque de facteurs binômes.

Lorsque le polynôme diviseur peut se mettre sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré tels que x — a, x—b, a;— c,. . ., il suffit de voir, par conséquent, si le polynôme dividende devient nul lorsqu'on y remplace successivement X par a, by Cy. . . : s'il en est ainsi, on peut affirmer a priori la possibilité de la division.

S'il existe seulement quelques facteurs binômes du premier degré communs au dividende et au diviseur, on peut simplifiei l'expression fractionnaire correspondante en faisant disparaître ces facteurs communs.

ALGÈBKE ÉLÉMEI4TAIRE. 343