DES RAPPORTS ALGÉBRIQUES

Définitions.

56. L'expression de la division de deux quantités quelles qu'elles soient, monômes ou polynômes, entières ou fractionnaires, rationnelles ou irrationnelles, positives ou négatives, constitue un rapport algébrique. Toutes les règles du calcul des fractions numériques et toutes les dénominations correspondantes s'appliquent aux rapports algébriques.

Puisqu'une lettre peut représenter en Algèbre une quantité

quelconque, si Ton a un rapport 79 on peut le représenter par

une seule lettre q, que la division de a par b soit ou non possible. On a alors, d'après la définition de la division,

fl = 6x q :

c'est en cela que consistent réellement les démonstrations que nous allons rapidement indiquer.

Opérations snr les rapports.

57. I. On ne change pas la valeur d*un rapport en multipliant ou en divisant ses deux termes par une même quantité*

De ^ = ç on peut déduire v— — = g, c'est-à-dire que le

rapport t ®st égal au rapport v^— > ^ étant une quantité

quelconque.

En ciTet, puisqu'on a

344 ALGÈBRE ÉLÉHEIfTAIRE.

on a aussi

et Ton en tire

axm = bxmy<qp

axm a

bxm

58. 11 résulte immédiatement de ce théorème que, pour réduire un rapport algébrique à sa plus simple expression, il faut rendre ses deux termes premiers entre eux.

On dit que deux quantités sont algébriquement premières entre elles, lorsqu'elles n'admettent aucun facteur commun, soit numérique, soit algébrique» soit monôme, soit polynôme.

Considérons le rapport

Mettons en évidence au numérateur le facteur commun tua^b*; le numérateur devient

Mettons en évidence au dénominateur le facteur commun 28a*&'; le dénominateur devient

Le rapport prend donc successivement la forme

i2fl^^^(fl— 6) Sb^a-'b) __3ft'

2ba'b'(a^^ laù-hb^) ~" 7a(a — 6j(fl -^6j ~~ 7â(a— é)'

et il est finalement réduit à sa plus simple expression.

59. Pour réduire plusieurs rapports au même dénominateur ou au plus petit dénominateur commun, il suit aussi du théorème du n« 57, qu'on doit opérer comme en Arithmétique.

Soient les rapports

i2a'6''(û[ 4- 6) ^oa/^c'la — b) 2']u^c'[(t' — i/-)

Les dénominateurs décomposés en facteurs donnent

i2a^b^a -h b)— 2.^x3 X «' X &* X (« -:- 6), 40a^c'(a — 6) = 2«x 5 X a' X c'X («— ft), 27 b*c* (a*— b') = 3» X 6» X 0=» X (a -4- 63 X (a — b).

ALGÈBRE ÉLÉMEIVTÀIUE. 34 3

Leur p]us petit multiple commun est donc 2^X3*x5xa'X^»Xc'X(a-f-^)X(a — 6).-:io8o«'i>c>(rt'— 6').

£n divisant ce plus petit multiple commun par chacun des dénominateurs, ce qu'on fera en supprimant ieurs facteurs parmi ceux du pius petit multiple commun, on trouve pour quotients successifs :

2 X3»x5xaXc*X(a— b) = goac*{a— 6),

3' X 6* X ex (an- 6) = 276^^(0 h- A),

2*X 5 X a* =z^oa*.

En multipliant respectivement les deux termes de chaque rapport par ces quotients, les rapports proposés deviennent finalement

63oac*{a — b) 8i6*o(a-t-6) 2opa*

60. Pour additionner plusieurs rapports^ il faut les réduire au même dénominateur, ajouter leurs numérateurs, et donnera la somme obtenue le dénominateur commun.

Pour soustraire deux rapports, il faut les réduire ad même dénominateur, retrancher leurs numérateurs, et donner à la différence obtenue le dénominateur commun,

61 • II. Pour multiplier deux rapports, il faut les multiplier terme à terme.

Soient les deux rapports -r et -j« Posons j zrz q qi , = g'.

Nous aurons (56)

a = bq, c z= dq'.

SI nous multiplions ces deux égalités membre à membre, il

vient

ac =r bdqq\

En divisant alors les deux membres de cette dernière égalité par bdf on a

ac , a c

346 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

Cettre règle s'étend immédiaiement à un nombre quelconque de rapports.