H bu

On commence par faire disparaître le dénominateur i + ha^ en muUipliitnt les deux termes du rapport donné par ce dénominateur (57) et en se rappelant que, pour multiplier une somme ou une différence par une quantité, on doit multiplier chaque partie de la somme ou de la diflTérence par cette quantité (22). On opère ensuite la réduction des termes semblables, et Ton met les facteurs communs en évidence, de manière à pou-

voir les supprimer dans les deux termes du rapport simplifié. On trouve ainsi

i-hba — ab-^a^ i -4- «^ i -*- tf^

a* Simplifier l^ expression

On commence par effectuer l'opération indiquée dans chaque parenthèse , c'est-à-dire qu'après avoir réduit les rapports correspondants au même dénominateur, on les ajoute ou on les retranche. On opère ensuite la réduction des termes semblables, et Ton écrit le résultat de chaque multiplication. On a alors

t'^u' (i — b — n—b —ib(b*-a^)

a-hb ; a'b'{a -^- b)

a — b-ha-i- b n^ — />>* '}.a(a^ — b^ )

a-i-b ab ab(a-h b)

En simplifiant autant que possible les deux rapports obtenus en numérateur et en dénominateur, on trouve

liji-h)

Puisqu'on peut diviser deux rapports en les divisant terme à terme (62), on voit que l'expression donnée se réduit finalement à

3" Simplifier r expression

En réduisant les trois rapports au môme dénominateur et en los ajoutant algébriquement, on a

On remarque alors que le numérateur s'annule successivement pour a = b^ pour a = c, pour ^ — c. Il est donc divisible séparément par les facteurs binômes [a—b)^ [a — c)^ l^ — ^) [^^J» ©^ par conséquent, par leur

35o ALGÈBRE ÉLÉMEITTAiaE.

produit (5o]. On peut donc effectuer la division du numérateur de l'expression donnée par son dénominateur, et le quotient exact qu'on obtiendra représentera cette expression réduite à sa plus simple expression.

On peut d'ailleurs évi(«r cette division, en mettant en évidence et en supprimant successivement les facteurs qui sont communs au numérateur et au dénominateur.

En effet, les deux premiers termes du numérateur reviennent à

On peut donc supprimer aux deux termes du rapport le facteur commun {a — b) [o4, 1**], et Ton trouve alors

ab (a -^ b) — c (a* -h ab -h b') -hc*

Le numérateur de ce dernier rapport peut s*écrîre

ab{a — c) -h b*{a — c) — c(a^ — c').

On peut donc supprimer à ses deux termes le facteur commun (a — c\ et il reste

ab-^b^—c(a-{'C) a(b '-c)'h(b^ — c*) .

C'est le résultat demandé.

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 35 l