CHAPITRE VII
CALCUL DES VALEURS ARITHMÉTIQUES DES RADICAUX, EXPOSANTS FRACTIONNAIRES ET NÉGATIFS.
Définition a.
69. La puissance nV^* d'une expression algébrique est le produit de m facteurs égaux à V expression donnée.
On n'a donc, pour obtenir celle puissance, lorsqu'il s'agit d'un monôme, d'un polynôme ou d'un rapport, qu'à appliquer les règles démontrées précédemment (23, 28, 61).
Lorsque l'expression proposée est elle-même un produit ou une puissance, on a recours aux théorèmes établis en Arithmétique (76, 75), et qui s'étendent immédiatement aux expressions algébriques.
70. La racine m'*"* d'une expression algébrique est l'expression qui, élevée à la puissance m, reproduit l'expression donnée.
Comme nous l'avons déjà dit en Arithmétique, on indique
la racine m^*** d'une expression à l'aide du signe \/", affecté
de l'indice m. La racine m'*"* de a s'écrit "^a. Nous verrons plus tard que toute racine m'"*"* a m valeurs. Nous nous bornerons ici à quelques remarques indispensables.
On appelle réelles les quantités positives et négatives. Cela posé, a peut avoir une valeur positive ou négative, m peut être pair ou impair» Examinons ces différents cas.
I" Si m est pair et que a soit positifs '\/a admet deux valeurs réelles, égales et de signes contraires. En effet, qu'on
affecte la valeur absolue de 7^ du signe -i- ou du signe — » comme m esipair ctque le produitd'un nombre paîrde (acteurs négatifs est positif (38), on obtient toujours a comme résultat
35a ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
en prenant m fadeurs égaux à -+- 7^ o" ^ — 7«' Si a' désigne la valeur absolue de Vû> on a donc d'une manière générale
yja = -+-«'.
2** Si m est pair et que a soit négatif, "^a ne peul être exprimée par aucun nombre positif ou négatif, puisque le produit d'un nombre pair de fadeurs positifs ou négatifs est positif. On donne à une pareille expression le nom d'exprès^ sion imaginaire, par opposition aux quantités positives ou négatives, qualifiées de réelles.
3° Si m est impair, "^a n'a qu'une seule valeur réelle de même signe que a : un nombre impair de facteurs positifs donne en eiTet un produit positif, un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif. En désignant par a' la valeur absolue de yâ, abstraction faite du signe de a, on aura d'une manière générale
'Ç^fl = H- a', si rt est positif;
"^a := — a!, s\ a est négatif.
Ainsi
Dans ce qui va suivre, nous regarderons les quantités placées sous les radicaux comme ayant une valeur positive el nous n'admettrons que les racines positives de ces quantités. On ne considère alors que les valeurs arithmétiques des radi^ eaux.
Calcul des valears arithmétiques des radicaux.
71. Il n'y a pas lieu de s'arrêter à l'addition et à la soustraction des radicaux; le plus souvent, on ne peut qu'indiquer l'opération à effectuer. Si des simplifications sont possibles, elles dépendent des transformations que nous allons étudier et de ce qu'on a déjà dit sur la réduction des terii>es semblables.
72. I. Pour multiplier plusieurs radicaux de même indice^ on multiplie les quantités placées sous ces radicaux et Von affecte leur produit du radical commun.
ALGEBRE éLÉMEZVTAIHE. 353
On a
a, b, c étant des quantités quelconques positives.
Rappelons-nous en efiet que, pour élever un produit à une puissance, il faut élever à celte puissance chaque facteur du produit {Aritlim.y 70); de plus, on a par définition
Enfin, puisque nous traitons seulement des valeurs arithmétiques des radicaux, un radical n a qu'une seule valeur.
Si l'on élève alors à la puissance m les deux membres de l'égalité précédente, on trouve
^a ^ JO . Je) = aOCj
ce qui démontre la règle ; car, puisque le premier membre de cette égalité, élevé à la puissance m, reproduit abc, ce premier
membre représente bien "^abc,
iJ. Légalité yja,\ o.^c=z \/aoc prouve réciproquement que, pour extraire la racine d'un produit^ il faut extraire la racine de chaque facteur.
On peut, d'après cela, simplifier l'expression d'un radical, lorsqu'il recouvre le produit de deux facteurs, dont l'un est une puissance exacte relativement à l'indice du radical.
Ainsi
On jait donc sortir un facteur d'un radical, c'est-à-dire on l'écrit en dehors du radical, en en extrayant une racine marquée par V indice du radical.
Réciproquement, si l'on a intérêt à faire entrer un facteur sous un radical, il faut l* élever à une puissance marquée par l'indice du radical.
On a
On a de mcmc
Or U— Cours, 1. ^3
354 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
74. Pour diviser deux radicaux de même indice, on divise les quantités placées sous les radicaux^ et ton affecte leur quo-
tient du radical commun.
On a
v'fl '"/a
En effet, puisque a = ^ x 6, on a aussi (73)
75. Pour élever un radical à une puissance, on élP.ve à celle puissance la quantité placée sous le radical.
On a
En effet, élever "y/ a à la puissance p, c'est faire le produit de p facteurs égaux à 7« (72).
76. II. Pour extraire la racine d*un radical, on extrait la racine de la quantité placée sous ce radical^ ou l'on multiplie les deux indices l'un par l'autre»
On a
En cfiet, on a démontré en Arithmétique que, pour élever une puissance à une autre puissance, il fallait multiplier les exposants des deux puissances : {a^y = a*^*. Réciproquement, pour élever a à la puissance 12, on peut indifféremment commencer par élever a au cube, puis le résultat a^ à la quatrième puissance, ou bien élever a à la quatrième puissance et le résultat a* au cube.
Cela posé, en élevant les trois expressions indiquées à la
puissance mp, on trouve a : \ ^a, par exemple, élevée à la
puissance p donne "^a, et ce résultat élevé à la puissance m doAfie a; ces trois expressions sont donc égales comme représentant la racine mp'*^ d'une môme quantité a. Ce théorème permet de simplifier Tcxtraction des racines
ALGÈBRE ÉLÉMEN TAIRE. 355
numériques, lorsque leur degré ne renferme que les facteurs premiers 2 et 3.
Ainsi on peut écrire
' ]ja = V' )j7i = V \/\/a.
Pour extraire la racine douzième de a, on peut donc extraire la racine carrée de a, puis la racine carrée de cette racine carrée, et enfin la racine cubique du résultat. On a de même
^^46656 = vV4^656 = J/^ = 6.
77. On ne change pas la valeur d*un radical en multipliant son indice par un certain nombre, pourvu qu'on élève à la puissance marquée par ce nombre la quantité placée sous le radical. Si l'on divise l* indice par un certain nombre, on doit au contraire extraire de la quantité placée sous le radical une racine marquée par le diviseur employé.
Celte règle résulte immédiatement du théorème précédent. On a évidemment
puisqu'on vient de démontrer la relation
y/aP= \yaP,
et que ^sfaP équivaut à a.
On peut, d'après ce qu'on vient de dire, simplijier un radi^ cal en supprimant les facteurs communs à V indice du radical et à r exposant de la puissance qu'il recouvre.
On peut aussi réduire plusieurs radicaux au même indice^ en suivant une marche analogue à celle qu'on emploie en Arithmétique pour réduire plusieurs fractions au plus petit dénominateur commun.
Soit proposé de réduire au même indice les radicaux 'y^^
Wb, ^Vc, On a
Le plus petit multiple commun des trois indices est donc
356 ALGÈBRE ÉLÉMENT A iHE.
En le divisant successivement par i5, 12 el i4» on trouve pour quotients 28, 35, 3o. 11 faut multiplier chaque indice par le quotient qui lui correspond el élever à une puissance marquée par ce quotient la quantité placée sous le radical considéré. Il vient
*^^/'~^ ♦'•/77I «**/"^ y/a", v^£»", Vc^\
78. Pour multiplier ou diviser des radicaux d'indices dijfférents, on commence par les ramener au même indice, puis on suit les règles précédentes.
Application.
79. Nous allons faire application des principes démontrés à la iransformationd'un rapport dont le dénominateur est irrationnel en un autre rapport équivalent dont le dénominateur soit rationnel .
1° Soit l'expression -— • En multipliant ses deux termes pary/^, on a
immédiatement
a __ a^ /f, " 'IT'
»• Soit l'expression - ,• En multipliant ses deux termes par la
différence yjb --\[c^ on a (30)
• a «(v^ — yfc) a\\fi) — \lci
On trouverait de même
v/? - \fc ( \/T) — yjZ') [sfb H- \fc)
3° Soit encore l'expression -__—~- — . On multiplie d'abord ses
\/b -^ \fc -k- yfd
deux termes par la diiïércnce y/1} -k- \/e — )f7l. On a ainsi
JLLGÈBHC ÉLÉMENTAIRE. 357
OU, en effectuant le carré indiqué au dénominateur,
v/S -h y/c -+- v/5 b -\- c — d ->f lyfbc
En multipliant alors les deux termes du dernier rapport par la différence
h-tt-c — il^^xy/hc^ de manière à introduire au dénominateur le produit d'une somme par une différence, c'est-à-dire la différence de deux carrés, on obtient finalement
Des exposants fractionnaires.
80. On peut diviser par un même nombre l'indice d'un radical et l'exposant de la quantité qu'il recouvre (77). On peut donc écrire
La fraction — ^ a pour numérateur l'exposant de la quantité
placée sous le radical, et pour dénominateur l'indice de ce radical.
La forme fractionnaire de l'exposant n'entratne ici aucune remarque, puisque celte forme fractionnaire correspond à un quotient entier; mais il y a avantage évident, ou, pour mieux dire, le caractère de l* Algèbre conduit nécessairement à étendre par convention cette notation au cas même où Vex" posant de. la quantité placée sous le radical n'est pas divisible par l'indice du radical. En effet, les règles relatives au calcul des quantités affectées d'exposants, qui ont été démontrées en Arithmétique (73 et suivants) exigent que ces exposants soient entiers. Les exposants pouvant être, eux aussi, représentas en Algèbre par des symboles généraux, il faut qu'on puisse supposer ces symboles remplacés par des valeurs quelconques et, par suite, par des valeurs fractionnaires, sans que les règles de calcul soient modifiées; et cette extension sera facilement justifiée, si nous convenons de regarder comme équivalentes les deux expressions
V «'"' et af* ,
358 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIHE.
met p étant des quantités entières positives quelconques. Le
numérateur m de l'exposant fractionnaire — indique alors à
quelle puissance on doit élever û, et le dénominateur p quelle racine on doit extraire du résultat a".
Pour que cette convention soit permise, il faut montrer que, la valeur de la seconde expression étant indépendante de la
forme donnée à la valeur fractionnaire —9 il en est de même
P de la valeur de la première. Supposons, en effet, qu'on ait
On aura alors
Il faut donc qu'
on ait aussi
-^Ja-'.
Réduisons ces deux radicaux au même indice (77); ils deviennent
Mais, puisque
on a
Va"^ et 7a^/ m m'
mp' = m' p.
Les deux radicaux, réduits ou non au même indice, sont donc identiques.
Il est utile de remarquer que, pour calculer la valeur numérique d'une puissance fractionnaire y il faut revenir à la forme radicale. Ainsi
Nous allons étendre maintenant aux exposants fractionnaires les règles démontrées dans le cas des exposants entiers.
81. I. Pour multiplier deux puissances entières ou fractionnaires d'une même quantité, on ajoute leurs exposants,
ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE • ioQ
On a
En effet
mais
mq-¥np
c*esl-à-dire a'' ''.
On peut supposer m ou n égal à i, p ou g égal à i.
82. IL Pour diviser deux puissances entières ou fractionnaires d'une même quantité, on retranche leurs exposants.
On a
aP:a^=af ^
en faisant touterois la restriction — > -» restriction qui sera
P 9 levée bientôu
En effet,
puisque la condition — }> - entraîne nécessairement la con-
dition mq'^np; on a donc, en revenant à la notation adoptée,
m n tnq—np m n
aP\(^=za~P^z=zcJ ^.
On peut supposer m ou n égal à i, p ou 9 égal à i.
83. IIL Pour élever une puissance entière ou fractionnaire à une autre puissance entière ou fractionnaire^ on multiplie les deux exposants.
On a
a/'j z=af^.
Bn effet.
[a") =rv^)"=((Ç'5=)",
36o ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
OU
mn m n
On peut supposer m ou n égal k i^ p o\x q égal à i.
84». IV. Pour élever un produit à une puissance entière ou fractionnaire f on peut élever chacun de ses facteurs à cette puissance»
On a
{abcy = aP bf cP .
En effet)
{abcy = v^iahc)' = ^tÎtc",
c'esl-à-dire
( abcy = 7^ Vb^ Vî?' == aP b'^ c'p.
Des exposants négatifs.
85. De même que la nécessité de conserver aux symboles algébriques toute leur généralité nous a conduit à admettre les exposants fractionnaires, nous devons aussi admettre les exposants négatifs et chercher l'interprétation dont ils sont susceptibles.
I>ïous avons déjà vu (43) que les exposants négatifs apparaissent, lorsqu'on veut étendre la règle de la division des monômes au cas où Texposant d'une certaine lettre est plus faible au dividende qu'au diviseur. Supposons qu'on ait Tex-
pression — • Si m surpasse n, on en déduit immédiatement
— z=za!*^\
mais, m étant plus petit que /i, l'expression a"-" n'a aucun sens, si l'on s'en tient à la définition générale des puissances. Posons
ALGÈBRE ÉLéMEirTAinE. 36 1
p étant la différence des deux exposants. On peut alors écrire
a* tf" a* I
En appliquant la règle de la division des monômes (h\\ on û d'ailleurs
or <f
— = — -rr = cr^n
Il est donc naturel d'admettre ou de convenir que les deux expressions ar^ et — sont équivalentes. Toute quantité affectée d'un exposant négatif revient alors à l'inverse de cette quantité affectée du même exposant pris positivement.
Il faut montrer que la notation des exposants négatifs n'implique pas contradiction, en ce sens que, étant admise dans le cas ou p est positif, elle subsiste par cela même lorsque/? reçoit une valeur négative — p'\ car, p' étant positif, on a, par convention,
a~/^= — ; ou aP^z= — -, aP a~*^
c'est-à-dire précisément
a-P= — ap
il est utile de remarquer que, pour calculer la valeur numérique d'une puissance négativcy il faut revenir à la Jorme fractionnaire. Ainsi
-f I I I f yji
ï si 7} v^8 2 y/2 4
Nous allons étendre aux exposants négatifs les mêmes règles de calcul qu'aux exposants positifs, entiers ou fractionnaires.
86. I. Pour multiplier deux puissances positives ou négatives d'une même quantité^ on ajoute leurs exposants.
En effet
II ï T
a* an (f'a'i «"*-^«
362 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIBE.
c'est-à-dire, en revenant à la notation adoptée,
On peut supposer m et 9 positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires.
87. IL Pour diviser deux puissances positives ou négatives d'une même quantité ^ on retranche leurs exposants.
On a
a—» : ar^ = ar"-*^ = a9'"*.
En effet
I I a!f or'^ : ar^ = — : — = — = a7-«.
a*" a^ or
On peut supposer /n et g posliifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires.
88. III. Pour élever une puissance positive ou négative à une autre puissance positive ou négative ^ on multiplie les deux exposants.
On a
( a-" )-^ = aC-"K-^) = a*"?.
En effet
\a-y [or Y c'est-à-dire
On peut supposer m et g positifs ou négatifs, entiers ou frac-* tionnaires.
89. IV. Pour élever un produit à une puissance positive ou négative, on peut élever chacun de ses facteurs à cette puissance.
On a
{abc)"* = a-^b-^c""^.
En effet,
I I lit
[alcY"^ =
[abcf* a'^b^cr oT 6* c"
c'esl-à-dire
[abc)-''=^ ar"' b-^ cr-'.
On peut supposer m positif ou négatif, entier ou fractionnaire.
90. On doit remarquer que, par suite de l'emploi des exposants négatifs, les divisions inexactes peuvent se continuer indéfîniment, lors même que les polynômes sont ordonne^ par rapport aux puissances décroissantes de la lettre ordonnatrice (49). L'expression du quotient est alors composée d'un nombre illimité de termes. Le premier exposant négatii dont est affectée la lettre ordonnatrice correspond au premierreste de degré inférieur au diviseur par rapport à cette lettre.
91. En résumant tout ce qui précède relativement aux exposants fractionnaires et négatifs, on obtient les règles suivantes, qui ne sont plus soumises à aucune restriction sur hi nature des exposants :
I® Pour multiplier deux puissances d'une même quantité ^ on ajoute leurs exposants,
^^ Pour diviser deux puissances d'une même quantité, on retranche leurs exposants.
3® Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants des deux puissances.
4° Pour élever un produit à une puissance, on peut élever chacun de ses facteurs à cette puissance.
