RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ
A UNE INCONNUE
Définitions.
92. On donne le nom d'équation à toute égalité dont l'expression renferme des quantités inconnues.
Soit réqualion Zx — 2 -- x -i- 5, où x représente une quantité inconnue qui doit précisément être déterminée de manière à remplir cette condition d'égalité, entre 3x — 2 d'une part et x 4- 5 de l'autre. 11 est évident a priori que toutes les valeurs ne peuvent pas être mises à la place de x^ qu'il n*y en a qu'un nombre limité d'admissibles : dans le cas considéré, ce nombre se réduit même à une seule valeur, comme nous le verrons bientôt.
Si l'on examine l'équation j;' — Sx -— i = 7 j; — Zx* ^- 5, on peut répéter la même remarque, et elle s'étend à toutes les équations qui ne renferment qu'une inconnue : le nombre des valeurs admissibles pour l'inconnue peut augmenter, il est toujours limité.
En résumé, une équation à une inconnue est une égalité qui ne peut être vérifiée que par certaines valeurs particulières de l'inconnue quelle contient.
93. Soil réqualion 5ar— -3/ — 7, où or et / représentent deux inconnues liées par la relation donnée. Cette équation
366 ALGÈBRE ÉLÉMElfTÀIRE.
peut, au contraire, être vérifiée ou satisfaite par un nombre illimité de valeurs de x et de j; ces valeurs doivent seulement
se correspondre de manière que or soit toujours égala— -^ — <•
On peut donc remplacer l'une des inconnues par une valeur prise au hasard, mais seulement Tune d'elles, et l'autre est immédiatement déterminée par le choix fait pour la première. Les valeurs qui satisfont à l'équation proposée ou qui la vérifient sont donc en nombre quelconque, mais ne sont pas quelconques.
Si l'on joint à l'équation 5^ — 37=: 7 une aulre équation 7a; + 4/* = ï8, et, si la question proposée exige que les inconnues X el y vérifient ces deux équations à la fois, il est évident a priori que toutes les valeurs possibles, soit pour or, soit pour j, ne peuvent convenir. Comme on déduit des équations données
3r-4-7 18 — ir X = -^—- et or = ^ 1
si Ton veut remplacer j par une certaine valeur dans les deux équations, il faut aussi que x reçoive en même temps dans ces deux équations une même valeur, c'est-à-dire que l'on ait
On voit par là immédiatement que la valeur de x devant vérifier cette nouvelle équation ne peut plus être quelconque; elle est même unique, ce qui entraîne la même condition pour la valeur de x.
Si Ton a deux autres équations, telles que j;»— ^=7^ jy = lî, le nombre des valeurs de ^ et de / qui vérifient à la fois ces deux équations peut augmenter, mais il est toujours limité. Ce que nous venons de dire, par rapporta deux inconnues, peut être répété pour trois, pour quatre,..., pour un nombre quelconque d'inconnues.
Plusieurs équations à plusieurs inconnues, qui doivent être vérifiées par les mêmes valeurs de ces inconnues, forment ce qu'on appelle un système d'équations,
Lorsquon a autant d'équations que d'inconnues, les f^roupes de valeurs des inconnues qui satisfont simultanément aux équations données sont en nombre limité.
ALGÈBRE ÉLÉMEir TAIRE. 367
94. Deux équations à une inconnue sont équivalentes lorsqu'elles sont satisfaites par les mêmes valeurs de Tinconnue qu'elles renferment. Au point de vue de la recherche de ces valeurs, on peut remplacer ces deux équations Tune par l'autre.
Deux systèmes d'équa tiens à plusieurs inconnues sont ^^lizVâients lorsqu'ils admettent les mêmes groupes de valeurs pour ces inconnues. Lorsqu'il ne s'agit que de trouver ces groupes de valeurs, on peut remplacer l'un par l'autre deux systèmes équivalents.
Les solutions cherchées, c'est a-dire les valeurs qui, mises à la place des inconnues, vérifient ou satisfont les équations proposées, sont les racines de ces équations.
95. Lorsque les deux membres d'une égalité sont identiques, elle prend le nom d*identité.
On appelle encore identité une équation qui peut être satisfaite par un nombre quelconque de valeurs de l'inconnue. Ce n'est plus alors une équation : c'est la représentation symbolique d'une règle générale de calcul algébrique. Ainsi
(a — a:)^ = a* — 2aX'hx^^ o.a7 = o.
Résoudre une équation ou un système d'équations, c'est chercher les racines correspondantes. Pour que les racines soient exactes, elles doivent transformer l'équation ou les équations proposées en égalités proprement dites; puis, tous les calculs étant elfectués, en identités.
96. On entend par degré d'une équation la plus grande somme des exposants des inconnues dans un même terme.
L'équation 5x — 7 = 24 -+- 2^ est une équation du premier degré à une inconnue*
L'équation iSx—&^ = 9 est une équation dix premier degré à deux inconnues.
Les équations 8x^ — 3x = 2. et 3x^jr—x*^^^^T~^ ^^ ^^"^ • la première une équation du second degré à une inconnue, la seconde une équation du troisième degré à deux inconnues.
On a classé les équations d'après leur degré, c'est-à-dire d'après la difficulté même de leur résolution.
Avant d'indiquer la marche à suivre pour résoudre une
368 ALGEBRE ÉLÉME1VT41RE.
équaiîon du premier degré à une inconnue, nous devons démontrer plusieurs principes, applicables aux équalions de tous les degrés.
Principes généraux applicables à la transformation
des équations.
97. T. On ne change ni la valeur ni le nombre des racines d'une équation en augmentant ou en diminuant ses deux membres d'une même quantité.
m étant une quantité quelconque, les deux équations
sont équivalentes.
En effet, les racines de la première équation, mises à la place des inconnues qu'elle renferme, donnent A=B. Si à ces deux quantités égales on ajoute algébriquement (H) une même quantité m, on obtient deux sommes égales. Les mêmes va* leurs des inconnues donnent donc aussi A -f- m = B -+- m.
Réciproquement, les racines de l'équation A -4- /n = B 4- m rendent ses deux membres égaux, lorsqu'on les substitue à la place des inconnues qu'elle renferme. Si des deux quantités égales obtenues on retranche algébriquement (15) une même quantité m, on obtient deux restes égaux. Les valeurs des inconnues qui donnent A -4- m = B -4- m donnent donc aussi a leur tour A = B, et les deux équations considérées sont bien équivalentes (94).
98. Il suit du principe démontré qu'o/i peut transposer un terme d'une équation, d'un membre dans l'autre, pourvu qu'on change son signe.
Soit réquation
On peut ajouter — x aux deux membres de cette équation. On a
Sx — X 8::^ 9,
Le terme x du second membre passe ainsi dans le premier, mais avec un signe contraire.
ALGÈBUE ÉLÉMENTAIIIE. 869
99. ir. On ne change ni la valeur ni le nombre des racines d'une équation en multipliant ou en divisant ses deux membres par une même quantité,
m étant une quantité quelconque différente de zéro, les deux équations
sont équivalentes.
En effet, les racines de la première équation, mises à la place des inconnues qu'elle renferme, rendent le facteur A égal au facteur B. Si Ton multiplie ces deux facteurs égaux par un même facteur m, on obtient deux produits égaux. Les mêmes valeurs des inconnues rendent donc aussi le produit Am égal au produit B/n.
Réciproquement, les racines de l'équation Am = Bm rendent ses deux membres égaux, lorsqu'on les substitue à la place des inconnues qu'elle renferme. Si l'on divise les produits égaux obtenus par une même quantité m différente de zéro, on obtient des quotients égaux. Les valeurs des inconnues qui rendent Am égal à Bm rendent donc aussi A égal à B, et les deux équations considérées sont bien équivalentes.
100. On doit faire la restriction indiquée, c'est-à-dire supposer le multiplicateur m différent de zéro, car la multiplication des deux membres d'une équation par zéro la transforme, en général, en une identité satisfaite par toutes les valeurs possibles mises à la place des inconnues (95).
Il en résulte que le multiplicateur employé ne doit pas, en f^énéral, renfermer les inconnues. Prenons un exemple trèssimple. Soit l'équation
Multiplions ses deux membres par le facteur a:— i qui devient nul pour x=:ï; nous aurons
(2:r-f- 3)(jc — i)r= (ar-+-9)(jF^i),
La première équation est évidemment satisfaite par x = 6; la seconde l'est à la fois par j: = 6 et par a: = i. On ne peut donc plus dire que ces deux équations sont équivalentes.
Ainsi, lorsqu'on multiplie les deux membres d'une équation
De C. — Cours. I. 24
370 A.LGÈBRE ÉLÉMENTAiriE*
par un facteur contenant les inconnues, on augmente ordinairement le nombre des racines de Téquation, et les solu'lions étrangères introduites sont précisément celles qui annulent ce facteur. On suppose ici que l'équation considérée ne renferme pas les inconnues en dénominateur; c'est un cas que nous examinerons plus loin.
101. Puisqu'on peut multiplier les deux membres d'une équation par une quantité quelconque, on peut aussi les di^ viser par une quantité quelconque. En effet, la division par un
nombre p revient à la multiplication par - •
Il ne faut pas en général que le diviseur employé renferme les inconnues. Reprenons Texemple ci-dessus, et soit l'équa* tion
Cette équation admet les racines ^ = 6 et a; = i; si l'on divise ses deux membres par le facteur x — i, l'équation obtenue
2Jc-i-3 = J7-1-9
n'admet plus que la racine or = 6.
En divisant les, deux membres d'une équation par un fac^ teur contenant les inconnues, on diminue donc le nombre des racines de l'équation^ et les solutions supprimées sont précisé-ment celles qui annulent ce facteur. Si Ton a intérêt à le faire disparaître, il faut donc mettre avec soin de côté les racines qui lui correspondent, afin d'en te^ir compte une fois la question proposée entièrement résolue.
102. Le principe démontré (99) permet de faire disparaître tous les dénominateurs d*une équation.
On cherche le plus petit multiple commun de tous ces dénominateurs, on multiplie les deux membres de l'équation par le nombre obtenu, et tous ses termes deviennent évidemment entiers.
Soit l'équation
X ^ 3 'jx
36 i4 la
Le plus petit multiple commun des dénominateurs 36, i4 et 12 est 252. On multiplie alors tous les termes de l'équation
▲LGÊBRB ÉLéMENTÀIRE. Sjl
par 252, en remarquant que pour multiplier^ par exemple» rr; par 252 = 36X7, il suffît de supprimer le dénominateur 36 et de multiplier le numérateur â? par 7» quotient de 262 par 36. L'entier — 5 doit être multiplié par 262. On supprime
le dénominateur 14 du terme -79 et Ton multiplie son numérateur 3 par 189 quotient de 252 par i4- Il faut de même multiplier — 7^: par 21, quotient de 262 par 12, et supprimer le dénominateur 12. L'équation, débarrassée de ses dénominateurs, devient
La règle suivie peut être résumée ainsi : Réduire tous les termes de V équation au plus petit dénominateur commun, en donnant le dénominateur i aux termes entiers, et supprimer ensuite ce plus petit dénominateur commun,
103. Le même principe (101) permet de simplifier une équation, en supprimant les facteurs communs que ses deux membres peuvent présenter.
Si l'on a l'équation '
81 a^bx 4- 2']a*b* = 54a' &•— 63a^x,
on peut diviser ses deux membres par le facteur gd* commun à tous ses termes, et elle devient
lOi* IlL Lorsqu'on élève à une même puissance les deux membres d'une équation, on augmente en général le nombre de ses racines.
Soit l'équation
En élevant les deux membres à la puissance m, on obtient
l'équation
On peut alors écrire les deux équations considérées sous la
forme
3y^ ALGÈBKE ÉLÉMENTÀIHB.
en faisant passer tous leurs termes dans le premier membre (cette réduction du second membre d'une équation à zéro est irès-usitoe ).
Nous savons que la quantité A"— B* est toujours divisible par la quantité A — B(38). Si nous désignons par Q le quotient de cette division, l'équation A*"— £"= o peut s'écrire
Pour qu'un produit soit nul, il suffit que l'un de ses factetirs soit nul. On satisfait donc à l'équation considérée en posant séparément
et l'on voit qu'elle admet non-seulement les racines de l'équation A — B = o, mais encore celles de l'équation Q =o. Si l'on élève, par exemple, l'équation A = B au carré, ii vient
A» = BS
d'où
Le premier membre étant la différence de deux carrés se transforme en un produit de deux facteurs (24, II), et l'on obtient
Le facteur A — B égalé à zéro reproduit l'équation primitive A = B, le facteur A -4- B égalé à zéro fournit les racines ajoutées qui correspondent à l'équation A = — B.
Résolution d'une équation du premier degré à une inconnue.
105. Les principes énoncés jusqu'à présent suffisent pour résoudre une équation quelconque du premier degré à une inconnue.
Soit l'équation
On commence par chasser les dénominateurs, ce qui se fait
ÀLGEBRB ÉLÉMENTÀIEB* 3yù
en réduisant tous les termes au plus petit dénominateur commun 56, et en multipliant les deux membres de Téquatlon par 56. Il vient
aia: — 1 12 -f- 28a: = 2057 -h 24.
On réunit alors tous les termes qui contiennent l'inconnue dans le premier membre, et tous ceux qui ne contiennent pas l'inconnue dans le second membre, en les affectant des signes convenables. On a ainsi
En effectuant les opérations indiquées, on trouve
ngx == i36.
En divisant les deux membres de cette dernière équation par 29, la racine cherchée est
En effet, toutes les équations considérées successivement sont
équivalentes à la première, et la dernière x = ^-^ ne peut
être satisfaite que si Ton remplace a? par la valeur écrite dans le second membre.
La règle à suivre peut donc être formulée ainsi : Pour ré" soudre une équation du premier degré à une seule inconnue, on fait disparattre les dénominateurs de l'équation; on trans* pose dans un membre tous les termes qui renferment l'inconnue, et dans l'autre tous ceux qui ne renferment pas l'in^ connue. On effectue les opérations indiquées dans les deux membres, et l'on divise celui qui ne contient pas l'inconnue par le coefficient de cette inconnue.
Pour être sûr que la racine obtenue est exacte. Il faut v^rijier cette racine, c'est-à-dire la substituer à la place de Tinconnue dans l'équation donnée : on doit alors, tout calcul fait, arriver à une identité.
On a, dans l'exemple précédent,
