II II II
Les divisions de la montre représentant des minutes, cette valeur de x
indique que la rencontre a lieu à l'^Ô™ — ou à i*" 5°* 27* — •
Le môme intervalle de temps sépare les rencontres successives.
En 12 heures, de midi à minuit, il n'y a évidemment que 11 rencontres, en ne comptant pas celle de midi et en comptant celle de minuit : en effet, il n*y a pas de rencontre entre midi et i heure.
109. n. La distance entre Paris et Rouen est égale à 187 kilomètres. Le quintal métrique de charbon coûte 4''» 25 à Paris et 4'%75 à Rouen. Jjes frais de transpart par le cfiemin de fer étant évalues à o''',o9 par tonne transportée et par kilomètre parcouru^ on demande de déterminer le point du chemin pour lequel il est indifférent de s^ approvisionner h Rouen ou à Paris.
Appelons X la distance du point cherché à Paris, sa distance à Rouen sera exprimée en kilomètres par 187 — x. Une tonne de charbon, achetée à Paris, sera payée en ce point
Au même point, une tonne de charbon, achetée à Rouen, sera payée
X devra donc yéri6er l'équation
42,5oH-o,o9.x = 47,5o -+- 0,09(137 —-x).
On en déduit
o,i8.jr = 5 -h 0,09. 137 = 17,33,
d'où
On doit donc s'approvisionner à Paris si l'on en est à moins de 96*", 277..., et à Rouen, dans le cas contraire.
110. m. Soit un nombre x inconnu, correspondant à une grandeur quelconque j à partager de la manière suivante : pour former la première partj on prélève sur x une quantité a, et Von ajoute à cette quantité la f&^ partie du reste x ^ a. Pour former la deuxième part, on prélève 2éJ, plus la n^' partie de ce qui reste quand on a diminué x de la pre^ mière part et de la quantité 2a; pour former la troisième part, on pré' lève 3fl, plus la /i*** partie de ce qui reste, et ainsi de suite. Le partage •e termine exactement, et toutes les parts se trouvent égales. On demande
378 ALGÈBRE ÉLÉMEiKTAIRE.
de déterminer x diaprés cette conditiony les quantités a et n étant don» nées. On demande aussi le nombre des parts et leur valeur commune.
La première part est a h •
Elle doit être égale à l'une quelconque des autres parts, la (/? ■+- i)**"* par exemple. Formons l'expression de cette part. Elle est représentée par (p -t- 1)^, plus la «**"'* partie de x diminué des p premières parts ou de p fois la première, et encore de (/? + i)a, c'est-à-dire que l'expression cherchée est
(;^-*-OûH- ^ =
L'équation du problème est donc
Si le problème est possible, la quantité indéterminée /;, qui caractérise le rang de la part égalée à la première, doit disparaître; en effet, la première part devant être égale à l'une quelconque des autres parts, l'expression de l'égalité de ses parts ne peut pas dépendre de leur rang. En multipliant par n^ les deux membres de l'équation, on a
ar^ -»- nx — /i/i = paii? 4- ar^ -h nx — pan — px -\- pa — pan — an.
Si l'on simplifie, il vient
o = p [an^ — a«r/î -^ a — x),
d'où, en divisant les deux membres par p qui ne peut pas être nul, X =an^ — afl« -t-ûr = fl(/ï' — a/ï-hi) =a[n — i)'.
La première part et toutes les autres sont donc égales à
fl/i* — lan -h a — a . .
a H = a -h an — ^a = a [n — i).
Le nombre des parts est par suite égal à
fl(«-i)>
1 H . Remarque. — Quel que soit le problème proposé, il s*agit toujours ùe déterminer les inconnues de manière à rendre certaines quantités égales entre elles : on doit donc examiner attentivement l'énoncé, afin déformer V expression de chacune de ces quantités en fonction des inconnues et des données; et, en écrivant les égalités correspondantes, on obtient leséqua" tions du problème.
JlLgèbre élément a ihe. 379
