CHAPITRE IL
DISCUSSION DE LA FORMULE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ A UNE INœNNUE.
Formule générale de résolution de Téquation du premier degré
à une inconnue.
112. Quelle que soit l'équation donnée, on peut toujours, dans chaque membre, réunir respectivement en un seul terme tous les termes qui contiennent l'inconnue et tous ceux qui ne la contiennent pas; de sorte que la forme la plus générale de réquation du premier degré à une inconnue est
Aa:-hB = A'j?-+-B'.
A, B, A', B' sont deç quantités littérales ou numériques, monômes ou polynômes, positives ou négatives. En faisant passer le terme k'x dans le premier membre et le terme B dans le second, on a
Aar — A'^ = B'— B,
d'où
et
Cette dernière équation, équivalente à Téquation proposée, ne
peut être satisfaite que pour la valeur x = — -, telle est
donc l'expression générale de la racine cherchée. Il nous reste à la discuter.
113. On peut, à l'aide de la formule trouvée, résoudre une équation quelconque du premier degré à une inconnue»
38o ALGÈBRE ÉLÉMEMTAIRF.
Soit réquation
nx 3 X
- — - -Hu
On a, dans ce cas,
d'où
Xz=
Mais la résolution directe de l'équation du premier degré à une inconnue est si simple, qu'on n'opère jamais par substitution.
11^. Si la formule conduit pour x à une valeur positive ou négative, cette valeur satisfait nécessairement à l'équation, comme on peut s'en convaincre en remarquant que l'exprès-
sion générale a a,» mise à la place de x dans l'équation
générale kx -f- B = A' a: -f- B', conduit à une identité.
Mais les valeurs mises à la place des lettres A, B, A', B' peuvent conduire pour x à des valeurs singulières qu'il s'agit d'interpréter. Ces valeurs particulières se présentent lors-
qu'un des termes de l'expression fractionnaire -r — r^ ou tous
les deux deviennent nuls.
Si l'on a B' — B = o, sans que A— A' soit nulle, on trouve x:=o. L'équation se réduit dans ce cas à kx = A' x, puisque B = B^ et elle ne peut être satisfaite que par la valeur x =zo, puisque A est différent de A'. Ce cas rentre dans les solutions
ordinaires; zéro est une racine tout aussi admissible que i, ^y
Symbole — •
115. Si l'on a A — A'= o, sans que B'— B soit nulle, la valeur de X se présente sous la forme
ALGEBRE ÉLÉMEIVTAIIIE. 38 t
en posant B' — B = /n, quantité positive ou négative, différente de zéro.
Ce symbole — n'a aucune signification, si Ton se borne à
la définition générale du rapport. Pour pouvoir l'interpréter, remontons à Téquation proposée; puisque A=A', elle devient, dans le cas examiné,
A^^-B = Aar-+-B'.
Quelle que soit la valeur attribuée à x^ le premier terme du premier membre sera égal au premier terme du second membre; mais, les seconds termes des deux membres étant différents, on ne pourra jamais arriver à l'égalité.
Le symbole — indique donc l* impossibilité absolue de satisfaire à V équation.
m Cherchons à interpréter directement le résultat — A la place
de zéro, mettons le dénominateur A — A!. Supposons d'abord que la différence A — A' ne soit pas nulle et qu'elle passe par des valeurs de plus en plus petites o,i, 0,01, o^ooi,..., 0,000001,. . ,; X prendra successivement des valeurs de plus en plus grandes
lom,
IOOO/7t, . . . ,
A mesure que A— A' se rapproche de zéro, la valeur de x croît donc continuellement de manière à pouvoir surpasser toute quantité donnée. C'est pour cela qu'on donne à la valeur limite
— le nom de valeur infinie ou non susceptible d'expression
numérique, parce qu'elle est plus grande que toute quantité
donnée. On indique Y infini soit par l'expression —9 soit par
le signe 00 ,
En revenant à l'équation Aa:H-B = A:f-|-B', on voit que l'Algèbre ne peut répondre que par un pareil symbole. Si x est infini, les deux membres deviennent infinis, et leur différence
382 ALGÈBUE ÉLÉMENTAIRE.
relative disparaît. Si l'on a ar-f-3 = .rH-i et s! Ton
faii^=r I, la différence des deux membres est 2, el celle différence esl considérable, eu égard aux valeurs 4 ei 2 des deux membres; mais, si Ton fail x =1000000, la différence des deux membres, toujours égale à 2, esl insigniflante eu égard à leurs valeurs loooooS el 1 00000 1«
Symboles d'indétermination.
116. Si Ton a à la fois B' — B = o eiA--A'=o, la valeur de X se présente sous la forme
Ce symbole n*a aucune significaiion, si l'on se borne à la déQnilion générale du rapport. Pour pouvoir rinierpréler, remontons à réquaiion proposée. Puisque Ton a A = A' et B = B', elle devient, dans le cas examiné,
A^-4-B = Aa:-4-B.
Quelle que soit la valeur attribuée à x^ le premier membre est toujours égal au second; Téquation se transforme en identité, el la valeur de x est complètement arbitraire.
Le symbole - indigne donc l'indétermination.
On aurait pu interpréter directement ce symbole, en remarquant que, le diviseur multiplié par le quotient devant toujours reproduire le dividende, le quotient peut être quelconque lorsque le dividende et le diviseur sont nuls.
