Il faut bien comprendre que, si l'expression de l'in

connue est fractionnaire, elle peut se présenter sous la forme -

sans qu'il y ait réellement indétermination. Il suffit qu'on ait oublié un facteur commun aux deux termes de la fraction et que les hypothèses particulières qu'on a faites le rendent nul,

pour que la valeur - apparaisse. Si la véritable valeur ainsi

masquée n'est pas -9 on dit que l'indétermination n'est qu'apparente

algèbue élémentaire. 383

Soit, par exemple, Texpression

a -h Si l'on suppose a = b, elle prend la forme

Mais on peut meure le produit [a -h 6) (« — é) à la place de rt'— 6*. On voit alors que le facteur a — 6 est commun aux deux termes de la fraction, et qu'il devient nul pour a = b. Si Ton a soin de le supprimer avant toute substitution, l'expression devient

et sa véritable valeur pour a = 6 est

x=: aa.

De même, l'expression -- — ~ y devient - pour a; = i.

X "T" ù X "~~" iL O

Il en résulte que les deux termes de la fraction sont divisibles par le binôme x — j (36), qui prend la valeur o pour ^ = i. Si l'on simplifie d'abord la fraction en divisant ses deux termes

par ^ — I, elle prend la forme y— 9 et la valeur x = i

conduit au résultat — ■=•

Au lieu de faire immédiatement ar= 1, on peut aussi, dans le cas considéré, poser x = i-¥- h^ effectuer les calculs qu'entratne cette substitution, simplifier l'expression obtenue, et faire ensuite A = o. II est clair qu'on détruit ainsi l'indétermination apparente, en supprimant indirectement le facteur commun qui la produit.

118. L'indétermination peut affecter d'autres symboles que le symbole -•

La fraction rg équivaut à Ax g* Si l'on suppose A = o

384 ALGÈBRE ÉLÉMENT AIHE.

el B = o, rexpression - équivaut donc à l'expression o>^~

ou ox » .

De même, la fraclion — peut encore affecter la forme -►

et, si Ton suppose A = o et B = o, on voit que les expres-

sions - et — sont encore équivalentes, o co ^

Enfin, la différence — t«— revient à k ■— t> et, si l'on suppose encore A = o et B = o, on en conclut Téquivalence des expressions - et oo — oo .

119. Les symboles o x oo , — > oo — oo peuvent aussi correspondre à une indétermination apparente qu'on ne pcul plus faire disparaître de la même manière.

Soii, par exemple, l'expression

X*-^ Sx^-h 7.x — I

Zx^-k-x^-^ 7

Si Ton suppose que x croisse indéfiniment, les deux termes de la fraction croissent indéfiniment, et, à la limite, l'expres-

sîon donnée prend la forme — Pour s'assurer de la réalité de l'indétermination, on divise les deux termes par x^, II vient

Si X augmente alors indéfîniment, tous les termes du numérateur et du dénominateur tendent vers zéro, excepté i et 3.

La véritable limite de la fraction est donc -r*

Soit, d'une manière générale, la fraction

ax^-\- bx"'-^-^ cx'^''-^

A X*' -4- B X"-' ^- Cx"-' -f- . . .

4LGÈB11B ÉLÉMENT AIHB. 385

doni les deux termes sont des polynômes entiers par rapport

à ^ et qui, pour ^ = oo , se présente sous la forme — • On a

trois cas à distinguer.

Si Ton a m>>/i, on divise les deux termes de la fraction par x"*, et Ton fait ensuite x = o:> .Le numérateur se réduit à a, le dénominateur à zéro, de sorte que la vraie valeur de la fraction est égale à Tinfini.

Si Ton a m<^n, on divise les deux termes de la fraction par ar", et l'on fait ensuite a; = co.Le numérateur se réduit à zéro, le dénominateur à A, de sorte que la vraie valeur de la fraction est égale à zéro.

Enfîn, si Ton a m = n, on divise les deux termes de la fraction para,""— ^", et l'on fait ensuite ^ = 00. Le numérateur se réduit à a, le dénominateur à A, de sorte que la vraie valeur

de la fraction est égale au quotient -•

En résumé, suivant que le degré du numérateur est supérieur, inférieur ou égal au degré du dénominateur, la vraie valeur de la fraction considérée, pour x = co , est co , o ou

■j-> quotient des premiers coefficients des deux termes de la

fraction.

Par exemple, la vraie valeur de la fraction

pour x=:ço , est -•