Soit l'expression

qui, pour x = <x>, se présente sous la forme oo — oo. Pour juger si celte indétermination est réelle ou apparente, nous multiplierons et nous diviserons l'expression donnée par la

somme ^x^-^i-^x^. Nous obtiendrons ainsi l'expression équivalente

^x* -hi-hx' x^-hi-h X* v^a;*-h î -h x*

Db C. — Cours, h 25

386 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

Pour jp = 00 , celle dernière fraciion devîenl — ou o. En effel,

lorsque le numérateur d'une fraction reste Jixe, tandis que son dénominateur augmente indéfiniment, cette fraction diminue de plus en plus et a zéro pour limite^

Cas ou réqnation donnée renferme Tinconnae en dénominateur.

121. Nous avons réservé (100) le cas où l'inconnue enlre en dénominaleur. Nous pouvons mainlenani i'éludier. Soil l'équalion

Si l'on suil la règle donnée (102) pour faire disparatire les dénominaleurSy on arrive à l'équalion

x^ — 307 + 3 — 2 = 0;' — 2j7-i-3or-r6 ou — ^X=z — 6.

On peul changer les signes des deux membres de celle équa-

lion, ce qui revieniàles mulliplierpar une mémequaniiié — i.

On a alors

4a: = 6, d'où 07 = -- ^ 2

Mais on a mulliplié par la quaniiié o? — 2, qui conlieni l'inconnue, les deux membres de Téqualion proposée : on peul donc craindre d*avoir inlroduil des solulions élrangères(100]. Remarquons alors qu'on peul réunir lous les lermes de l'équalion dans le premier membre, de manière que le second membre soil zéro; puis réduire lous les lermes du premier membre au même dénominaleur 0? — 2. On mel ainsi l'équalion sous la forme

6 — ix

Pour qu'une fraciion soil nulle, il faul que son numéraieur soil nul sans que son dénominaleur le soil, ou bien que son dénominaleur soil infini sans que son numéraieur le soil (120).

On salisfaii donc à l'équalion en posani 6 — 4^ = ^> ce qui conduit à la solution déjà trouvée, solution admissible, puisque

or -^ - ne rend pas nul le dénominaleur x — 2.

ALGEBRE ÉLÉMENT AIHE. 38 7

On y satisfait encore en cherchant les valeurs qui rendent le dénominateur infini, il n'y a évidemment que la valeur :r = 00 qui remplisse cette condition; mais elle rend aussi le numérateur infini. Pour lever Tindéiermination (118), on applique la règle du n** 119, et l'on trouve que, pour ar = 00, la limite de la fraciion est égale à — 4* La valeur x=co ne convient donc pas et doit être rejetée.

Cetexemple très-simple montre que la suppression du dénominateur commun, lors même qu'il contient l'inconnue, n'eniratne, en général, la suppression d'aucune véritable solution, et que les solutions qu'on pourmit ainsi négliger sont des solutions infinies que le problème n'admet ordinairement pas. Dans tous les cas, on voit qu'il est facile d'en tenir compte. On peut remarquer que, pour que les soluilons infinies soient possibles, il faut (119) que le degré du dénominateur de la fraction résultante surpasse celui da numérateur.

Soit encore l'équation

En opérant comme nous venons de l'indiquer, on la met sous

la forme

Si l'on pose le numérateur jc*— 7^ -^ 6 = o, on trouve pour racines, comme nous le verrons plus tard, les nombres 6 et i. Mais la solution x= i rend aussi le dénominateur x — \ égal

à zéro, de sorte que la fraction prend la forme -• On est ainsi

averti que ses deux termes admettent le facteur j: — i, qu'il faut avant tout faire disparaître. Il reste alors x — &^=:o\ ce qui montre que la seule solution admissible est a: = 6. Il faut donc avoir soin de rejeter les solutions données par le numérateur égalé à zéro, lorsque ces solutions annulent aussi le dénominateur commun.

En résumé f la règle pratique consiste à faire disparaître les dénominateurs contenant l'inconnue, comme ceux qui ne la contiennent pas, et à supprimer ensuite celles des solutions trouvées qui annulent le dénominateur commun obtenu*

388 ALGICBRE ÉLÉMENTAIRE.