DU PREMIER DEGRÉ, EN NOMBRE ÉGAL A CELUI DES INCONNUES

Théorèmes généraux concernant les systèmes équivalents.

122. I. Deux systèmes adéquations sont équivalents lorsque le second système ne diffère du premier que par des équations obtenues en ajoutant ou en retranchant membre à membre quelques équations du premier sy^stème.

Soil le système d'équations A = B. A'=: B', A" =. B*. Pour plus de généralité, multiplions respectivement les deux membres de chacune de ces équations par des quantités quelconques m, //, Pi différentes de zéro. Nous savons (99) que le système

Ikm = Bm, A'n=^B'/i, A V = B'p

est complètement équivalent au système proposé. Cela posé, nous allons montrer que le système

!Am rzr Bm, A'/i= B'n, . Am-^A'll — A^p^Bm-hB'n — B'p

est équivalent au système précédent, et par suite au système donné. En effet, les valeurs des inconnues qui vérifient le système (i) vérifient les deux premières équations du système (2). De plus, ces valeurs rendant Am = Bm, A'ii = B'/i, A''/? = B*/>, rendent nécessairement la différence Amn- A'n — k"p égale

iLGÈBBE ÉLÉMENTAIKE. iSg

è la différence Bm -f- B'/i — B*';?, c'est-à-dire saiîsfonl aussi à la troisième équation du système (2).

Réciproquement, les valeurs des inconnues qui vérifient le système (2) vérifient les deux premières équations du système (i), puisque ces équations sont communes aux deux systèmes; ces valeurs rendent donc la somme Am-f-A'n égale à la somme Bm-hB'/i. Elles rendent de plus la difTérence (Am -f- A'n) — A*"/? égale à la difTérence (B m -h B'/i) — B*'/?. Le terme A'p est donc égal au terme B"/?, et les valeurs considérées satisfont aussi à la dernière équation du système (i). Les systèmes (i) et (2) sont, par conséquent, équivalents.

123. IL Étant donné un système d* équations, si l'on résout l'une des équations du système par rapport à l'une des inconnues qui y entrent y c'est-à-dire si Von isole cette inconnue dans le premier membre de V équation considérée, on peut remplacer cette inconnue par la valeur obtenue^ dans toutes les autres équations du système.

Soient les équations A=:A', B = B', C = C', contenant, pour fixer les idées, les inconnues x^y, z.

La forme la plus générale d'une équation du premier degré à plusieurs inconnues est évidemment

ax -\~ by -h c z -]- du -h . . . rrr K ;

car on peut toujours réunir dans le premier membre les termes qui contiennent les inconnues, dans le second membre ceux qui ne les contiennent pas, puis rassembler en un même coefficient numérique ou littéral, monôme ou polynôme, positif ou négatif, toutes les quantités qui nlultiplient une même inconnue. On peut de même représenter le second membre par une seule lettre.

Cela posé, si Ton résout la première équation par rapport à X, en regardant x comme seule inconnue, et qu'on obtienne x=zD{l) étant une certaine expression en y et en 2), on pourra remplacer x par 1) dans les deux autres équations du système, qui deviendront alors B,= B', et Ci=C,.

U faut prouver que le système

390 ALGÈBRE tLÉMENTAIRE.

et le système

sont équivalents.

L'équation A = A' et l'équation a? = D sont identiques; car, pour passer de la première à la seconde, on a seulement transposé dans le second membre les termes en y et en z, et l'on a divisé les deux membres par le coefficient de x (105).

Les deuT autres équations de chaque système ne diffèrent que par la substitution de D à la place de t ou de ^ à la place de D; de sorte que ce simple changement permet de passer d'une équation du premier système à l'équation correspondante du second système. Or, remplacer directement x par sa valeur ou remplacer / et 2 par les leurs, dans une expression D qui se réduit à celte même valeur de x, c'est tout un. Les deux systèmes sont donc bien équivalents. t

Remplacer ainsi l'inconnue x par sa valeur D en fonction des autres inconnues y et «, c'est éliminer x. D'une manière générale, éliminer une quantité, c*est la faire disparattre des calculs subséquents.

Résolution de deux équations du premier degré à deux inconnues

1*24. Soient les deux équations du premier degré à deux inconnues

Considérons-les un moment sous la forme générale A=A'^ B = B' ou Am = Bm, A'n = B'/i.

Le système

AmrriB/n ] | A - -: B

Am — A'ii = Bm — B'n i ^" | Aw — A'/i :^ Bm — B'n

est, d'après ce qui précède (122), équivalent au système proposé; mais on peut choisir les multiplicateurs m et n de manière à éliminer l'inconnue a?, par exemple, il suffit de faire en sorte que les coefficients de x soient égaux dans les équations Am = Bm, A'n = B'/i.

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. Sc) I

Si ces coefficients sont de même signe» en retranchant alors les deux équations membre à membre, l'équation résultante Am — A'/i = Bm — B'n ne contiendra plus que l'inconnue 7-, dont elle fournira immédiatement Tunique valeur; et cette valeur, mise à la place de / dans l'équation A = B, permettra d'en déduire x.

Si les coefficients de x dans les deux équations Am = Bm, A'n=:B'/i sont de signes contraires, on ajoutera les deux équations.

Bevenons aux équations proposées. En multipliant les deux membres de la première par 2, coefficient de x dans la seconde, et les deux membres de la seconde par 5» coefûcient de X dans la première, on obtient

10^ — 6/= 18, io:f -f- 35/= 100.

On retranche alors membre à membre la première équation de la seconde; Téquaiion résultante est

35/'-h6/=ioo — 18 ou ^\y=^iiL*

On en tire

Cette valeur/ = 2, substituée dans Téquation Sx — S/ — g,

donne •

Sx — 6 = 0 ou 5a:=i5 et ar=:-^=:3. ^ 5

Les équations proposées sont donc satisfaites par les valeurs X = 3 et j == 2, et seulement par ces valeurs. La vérification réussit